AVA MODELAGEM MATEMETICA

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1a 
 Questão 
Acerto: 0,2 / 0,2 
 
A velocidade v de um foguete Saturno V, em voo vertical perto da superfície da Terra, pode ser medida por: 
v=uln(MM−mt)−�=���(��−��)− 
onde 
u=2510m/s=velocidade de exaustão em relação ao foguete�=2510�/�=velocidade de exaustão em relação ao 
foguete 
M=2,8×106kg=massa do foguete na decolagem�=2,8×106��=massa do foguete na decolagem 
m=13,3×103kg/s=taxa de consumo de combustível�=13,3×103��/�=taxa de consumo de combustível 
g=9,81m/s2=aceleração gravitacional�=9,81�/�2=aceleração gravitacional 
t=tempo medido a partir da decolagem�=tempo medido a partir da decolagem 
Determine o tempo em que o foguete atinge a velocidade do som (355m/s)(355�/�). Utilize, para aproximação 
inicial, o intervalo [70,80][70,80]. 
 
 
70.000000 
 
74.345781 
 
80.000000 
 73.281758 
 
73.8999999 
Respondido em 04/11/2023 10:44:05 
 
Explicação: 
Gabarito: 73.281758 
Justificativa: Substituindo os dados da questão e fazendo a t=x�=�, temos a seguinte função, na qual desejamos encontrar a 
raiz: 
f(x)=2510ln(2.8×1062.8×106−13.3×103x)−9.81x−355�(�)=2510��(2.8×1062.8×106−13.3×103�)−9.81�−355 
Aplicando o método da bisseção: 
import math 
 
from numpy import sign 
def biss(f,x1,x2,switch=1,tol=1.0e-9): 
f1 = f(x1) 
if f1 == 0.0: return x1 
f2 = f(x2) 
if f2 == 0.0: return x2 
if sign(f1) == sign(f2): 
print('Raiz não existe nesse intervalo') 
n = int(math.ceil(math.log(abs(x2 - x1)/tol)/math.log(2.0))) 
for i in range(n): 
x3 = 0.5*(x1 + x2); f3 = f(x3) 
if (switch == 1) and (abs(f3) > abs(f1)) \ 
and (abs(f3) > abs(f2)): 
return None 
if f3 == 0.0: return x3 
if sign(f2)!= sign(f3): x1 = x3; f1 = f3 
else: x2 = x3; f2 = f3 
return (x1 + x2)/2.0 
 
def f(x): return 2510*math.log(2.8e6/(2.8e6 - 13.3e3*x)) - 9.81*x -355 
x = biss(f, 70, 80) 
print('x =', '{:6.6f}'.format(x)) 
x = 73.281758 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 0,2 / 0,2 
 
O método de Gauss-Jordan transforma a matriz A do sistema Ax=b, em uma matriz: 
 
 
Pentadiagonal. 
 
Triangular inferior. 
 Identidade. 
 
Tridiagonal. 
 
Triangular superior. 
Respondido em 04/11/2023 10:45:26 
 
Explicação: 
Por definição o método Gauss Jordan transforma a matriz A numa matriz identidade. 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 0,2 / 0,2 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de e-x no intervalo de 0 a 1. Divida o intervalo de 
integração em 10 partes. Utilize o método de Simpson: 
 
 
0,532 
 0,632 
 
0,732 
 
0,432 
 
0,332 
Respondido em 04/11/2023 10:47:13 
 
Explicação: 
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o enunciado forneça alguns elementos 
importantes, como: 
- A função a ser integrada; 
- O valor inicial do intervalo de integração; 
- O valor final do intervalo de integração; e 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo). 
Neste exemplo, temos que: 
- A função a ser integrada é f(x) = e-x 
- O valor inicial do intervalo de integração é 0; 
- O valor final do intervalo de integração é 1; e 
- O intervalo de integração é dividido em 10 partes, de modo que o tamanho de cada intervalo é 0,1. 
Assim, aplicando os conceitos para o método de Simpson, temos o código em Python indicado a seguir: 
import numpy as np 
import math 
f = lambda x: np.exp(-x) 
a = 0; b = 1; N = 10 
x = np.linspace(a,b,N+1) 
y = f(x) 
dx = (b-a)/N 
soma_Simpson = dx/3 * np.sum(y[0:-1:2] + 4*y[1::2] + y[2::2]) 
print("Integral:",soma_Simpson) 
 
O resultado obtido corresponde à alternativa indicada como correta na questão. 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 0,2 / 0,2 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y'= y2, sendo y(0) 
= 0,3. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-Kutta: 
 
 
2,685 
 
2,585 
 2,985 
 
2,885 
 
2,785 
Respondido em 04/11/2023 10:48:35 
 
Explicação: 
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça 
alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y'= y2; 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 3; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.98. 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 0,2 / 0,2 
 
Os problemas de programação linear podem ser resolvidos por diversos métodos, como o método gráfico e o Simplex. 
Uma outra forma de se resolver este tipo de problema é por meio de uma ferramenta do Excel, chamada de: 
 
 
Análise de dados. 
 
Teste de hipóteses. 
 
Obter dados. 
 Solver. 
 
Tabela de dados. 
Respondido em 04/11/2023 10:49:56 
 
Explicação: 
A extensão do Excel que pode solucionar problemas de programação linear se chama Solver, as demais alternativas são 
ferramentas estatísticas e importação de dados. 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 0,2 / 0,2 
 
(Transpetro / 2011) Seja N uma base de numeração, e os números A = (100)N, B = (243)(N+1), C = (30)N, D = F16 e E = 
(110)2. Sabendo-se que a igualdade B + D = A + E.C é válida, o produto de valores válidos para a base N é: 
 
 
36. 
 
42. 
 
35. 
 
45. 
 24. 
Respondido em 04/11/2023 10:50:42 
 
Explicação: 
Gabarito: 24. 
Justificativa: Utilizando a definição: 
A = (100)N = N2 
B = 2N2 8N + 9 
C = (30)N = 3N 
D = (F)16 = 15 
E = (110)2 = 4 + 2 = 6 
Fazendo: 
B + D = A + E.C 
N2 -10N +24 = 0 
Como o produto das raízes de uma equação do segundo grau, ax2 + bx + c = é dada por c/a. Então, a resposta é 24. 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 0,2 / 0,2 
 
Dado o sistema: 
∣∣ 
∣ 
∣ 
∣∣224−2132131311342∣∣ 
∣ 
∣ 
∣∣|224−2132131311342|∣∣ 
∣ 
∣ 
∣∣x1x2x3x4∣∣ 
∣ 
∣ 
∣∣|�1�2�3�4|= ∣∣ 
∣ 
∣ 
∣∣10171827∣∣ 
∣ 
∣ 
∣∣|10171827| 
Calcule a soma x1+x2+x3+x4 usando o método Gauss-Jordan 
 
 
13 
 10 
 
11 
 
12 
 
9 
Respondido em 04/11/2023 10:53:00 
 
Explicação: 
No Python usando método Gauss Jordan: 
 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 0,2 / 0,2 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de x - sen(x) no intervalo de 1 a 2. Utilize o método de 
Romberg, com aproximação até n = 2: 
 
 0,54355 
 
0,56355 
 
0,52355 
 
0,50355 
 
0,58355 
Respondido em 04/11/2023 10:53:36 
 
Explicação: 
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o enunciado forneça alguns elementos 
importantes, como: 
- A função a ser integrada; 
- A técnica de integração a ser utilizada; 
- O valor inicial do intervalo de integração; 
- O valor final do intervalo de integração; e 
- A quantidade de partições (n) 
Neste exemplo, temos que: 
- A função a ser integrada é f(x) = x - sen(x); 
- A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg; 
- O valor inicial do intervalo de integração é 1; 
- O valor final do intervalo de integração é 2; e 
- A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2. 
Assim, aplicando os conceitos para o método de Romberg, temos o código em Python indicado a seguir: 
 
import scipy as sp 
from scipy import integrate 
func = lambda x: x - sp.sin(x) 
result = integrate.romberg(func, 1, 2, show=True) 
 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 0,2 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(0,4) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = sen(y), 
sendo y(0) = 3. Considere h = 0,1. Utilize o método de Euler: 
 
 
3,149 
 
3,349 
 
3,249 
 3,449 
 3,049 
Respondido em 04/11/2023 10:54:39 
 
Explicação: 
Como vimos neste tema, a resolução do problema de valor inicialem equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer 
que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; O ponto inicial; O ponto final; A quantidade de intervalos (ou 
o tamanho de cada intervalo); e O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = sen(y); O ponto inicial é 0; O ponto final é 0,4; O 
tamanho de cada intervalo é 0,1; e O valor da função no ponto inicial é 3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
 
 
 
10a 
 Questão 
Acerto: 0,2 / 0,2 
 
Existe uma série de técnicas matemáticas que foram desenvolvidas ao longo dos anos com a ideia precípua de resolver 
problemas de programação linear. Dentre tais técnicas, algumas merecem especial destaque por sua eficiência e 
elegância. Analise as alternativas abaixo e assinale o método comumente utilizado para resolver problemas de 
programação linear. 
 
 
Gradiente conjugado. 
 
Dijkstra . 
 
Gradiente decrescente. 
 Simplex. 
 
 Decomposição LU. 
Respondido em 04/11/2023 10:54:43 
 
Explicação: 
O método simplex é específico para a solução de problemas de otimização linear (equações ou inequações lineares). Trata-se de 
um algoritmo eficiente, responsável por proporcionar grandes contribuições à programação matemática. As demais alternativas não 
representam métodos de resolução de problemas de programação linear.