lista14

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Ciências e Tecnologia
Lista 14 - Prazo de entrega: 24/09/2019
1. Sejam ~r (t) = (x1(t), . . . , xn(t)) e ~s(t) = (y1(t), . . . , yn(t)) campos vetoriais integráveis no
intervalo [a, b]. Mostre que para quaisquer α e β reais a combinação linear α · ~r (t) + β · ~s(t) é
integrável e∫
b
a
(α · ~r (t) + β · ~s(t)) dt = α ·
∫
b
a
~r ′(t)dt+ β ·
∫
b
a
~s(t)dt .
2. Seja ~r (t) = (x1(t), . . . , xn(t)) um campo vetorial integrável no intervalo [a, b]. Mostre que∫
b
a
~r (t)dt =
∫
c
a
~r (t)dt+
∫
b
c
~r (t)dt .
3. Seja ~r (t) = (x1(t), . . . , xn(t)) um campo vetorial cont́ınuo no intervalo [a, b]. Seja ~R (t) =
(X1(t), . . . , Xn(t)) um campo vetorial tal que ~R
′(t) = ~r (t) para todo t ∈ [a, b], então∫
b
a
~r (t)dt = ~R (b)− ~R (a) .
4. Seja ~r (t) = (x1(t), . . . , xn(t)) um campo vetorial cont́ınuo no intervalo [a, b]. Seja
~R (t) =
∫
t
a
~r (u)du .
Mostre que ~R ′(t) = ~r (t).
5. Considere que uma part́ıcula move-se ao longo das trajetórias indicadas. Calcule a distância
percorrida pela part́ıcula ao longo de cada trajetória.
(a) Circunferência de raio a descrita por ~r(t) = (a cos t, a sen t), t ∈ [0, 2π].
(b) Arco da parábola descrita por ~r(t) = (t, t2), t ∈ [0, 1].
(c) Arco da catenária descrita por ~r(t) = (at, a cosh t), t ∈ [−1, 1].
(d) Arco de hélice descrita por ~r(t) = (a cos t, a sen t, bt), t ∈ [0, 2π].
(e) Espiral descrita por ~r(t) = (at cos t, at sen t), t ∈ [0, 2π].
(f) Cicloide descrita por ~r(t) = (a(t− sen t), a(1− cos t)), t ∈ [0, 2π].
(g) Cardioide descrito por ~r(t) = (a(2 cos t− cos(2t)), a(2 sen t− sen(2t))), t ∈ [0, 2π].
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