AP3-MD2-2023-1-GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
GABARITO – AP3 – Métodos Determinísticos II – 1/2023
Código da disciplina EAD06077
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 1 E 2.
Considere as funções f (x) = x2 +3x −7 e g (x) = x −1.
Questão 1 [1,0 pto]: Encontre g−1(2), caso exista.
Solução: A função g é inversível, pois é bijetiva de R em R. Logo, é possível encontrar a lei de formação de
g−1(x). Assim,
x = y −1 ⇒ y = x +1.
Portanto,g−1(x) = x +1, donde g−1(2) = 2+1 = 3.
Questão 2 [1,0 pto]: Encontre a expressão de f ◦ g .
Solução: A função composta ( f ◦ g )(x) é dada por:
f (g (x)) = f (x −1) = (x −1)2 +3(x −1)−7 = (x2 −2x +1)+3x −3−7 = x2 −2x +1+3x −10 = x2 +x −9.
Dessa forma, ( f ◦ g )(x) = x2 +x −9.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 3 A 6.
Considere a função f (x) = l n(x)
x
. Determine o que se pede abaixo.
Questão 3 [1,0 pto]: O domínio de f (x).
Solução: Lembremos que, para que o logaritmo esteja bem definido, devemos ter x > 0, o que também
atende a exigência de não nulidade a respeito do denominador em f (x). Logo, Dom( f ) = {x ∈ R; x > 0} ou,
equivalentemente, podemos escrever Dom( f ) = (0,+∞).
Questão 4 [2,0 pts]: As assíntotas horizontais e verticais de f (x), caso existam.
Solução: Como lim
x→0+
l n(x) =−∞ e lim
x→0+
1
x
=∞, segue que:
lim
x→0+
f (x) = lim
x→0+
ln(x)
x
=−∞.
Portanto, a reta x = 0 é a única assíntota vertical do gráfico de f .
Para encontrar a assíntota horizontal, basta calcular apenas o limite lim
x→+∞ f (x) , já que a função f não está
definida para valores de x negativos. Dessa forma, utilizando a Regra de L’Hospital, obtemos:
lim
x→+∞ f (x) = limx→+∞
ln(x)
x
= lim
x→+∞
1
x
1
= lim
x→+∞
1
x
= 0.
Dessa forma, a reta y = 0 é a única assíntota horizontal do gráfico de f .
Questão 5 [2,0 pts]: Os intervalos onde a função f (x) é crescente e onde é decrescente.
Solução: Aplicando a Regra do Quociente para obter f ′(x), temos:
f ′(x) =
1
x · x −1 · ln(x)
x2
= 1− ln(x)
x2
.
Dessa forma,
f ′(x) > 0 ⇐⇒ 1− ln(x)
x2
> 0 ⇐⇒ 1− ln(x) > 0 ⇐⇒ ln(x) < 1 ⇐⇒ 0 < x < e;
e também:
f ′(x) < 0 ⇐⇒ 1− ln(x)
x2
< 0 ⇐⇒ 1− l n(x) < 0 ⇐⇒ l n(x) > 1 ⇐⇒ x > e.
Portanto, a função f (x) é crescente no intervalo ]0,e[ e decrescente no intervalo (e,+∞).
Questão 6 [1,0 pto]: Os pontos de máximo e de mínimo locais de f (x), caso existam.
Solução: Observe que
f ′(x) = 0 ⇐⇒ 1− ln(x)
x2
= 0 ⇐⇒ 1− l n(x) = 0 ⇐⇒ l n(x) = 1 ⇐⇒ x = e.
Como f (e) = ln(e)
e
= 1
e
, temos que
(
e,
1
e
)
é um ponto crítico de f (x). Pelo teste da Derivada Primeira rea-
lizado na questão 3 (acima), concluímos que
(
e,
1
e
)
é o um ponto de máximo local de f (x) e que a função
não possui mínimo local.
Questão 7 [1,0 pto]: Seja h uma função real positiva. Sabendo que
∫ 10
0
h(x) d x = 17 e que
∫ 8
0
h(x) d x = 12,
calcule
∫ 10
8
h(x) d x.
Solução: Observe que ∫ 8
0
h(x) d x +
∫ 10
8
h(x) d x =
∫ 10
0
h(x) d x.
Logo, ∫ 10
8
h(x) d x =
∫ 10
0
h(x) d x −
∫ 8
0
h(x) d x = 17−12 = 5.
Portanto,
∫ 10
8
h(x) d x = 5.
Questão 8 [1,0 pto]: Calcule
∫ p
2x +1d x.
Solução: Seja u = 2x +1. Então du = 2d x. Logo:
∫ p
2x +1d x = 1
2
∫
2
p
2x +1d x = 1
2
∫ p
udu = 1
2
(
u3/2
3/2
)
+C = 1
2
· 2
3
(
u3/2
)+C = 1
3
(
u3/2
)+C = 1
3
(2x+1)3/2+C .
2