Aula 06 Quadricas texto

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17/09/2021 14:29 UNINTER - GEOMETRIA ANALÍTICA
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GEOMETRIA ANALÍTICA
AULA 6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini
17/09/2021 14:29 UNINTER - GEOMETRIA ANALÍTICA
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CONVERSA INICIAL
Nesta aula, estudaremos as quádricas e suas aplicações. Quádricas são figuras tridimensionais e
estão diretamente relacionadas às cônicas vistas em momento anterior. Ao rotacionarmos uma
cônica, obtemos uma superfície denominada quádrica. Uma esfera é um exemplo de quádrica.
Paraboloides, hiperboloides e elipsoides também. No decorrer da aula, estudaremos cada uma delas.
TEMA 1 – QUÁDRICAS
Por meio das cônicas vistas anteriormente (circunferência, elipse, hipérbole e parábola),
podemos obter figuras tridimensionais chamadas de quádricas. A rotação de uma circunferência em
torno de seu eixo gera uma esfera. Quando rotacionamos uma elipse, temos um elipsoide. A rotação
de uma hipérbole gera um hiperboloide e a rotação da parábola gera um paraboloide. Todas essas
figuras apresentam aplicações práticas, algumas das quais veremos nesta aula.
Toda quádrica pode ser escrita como uma equação de segundo grau nas variáveis x, y e z:
a0x2 + a1y2 + a2z2 + 2a3xy + 2a4xz + 2a5yz + a6x + a7y + a8z + a9 = 0
Nessa equação, a0, a1, ..., a9 são números reais e pelo menos um dos coeficientes a0, a1, ..., a5 é
diferente de zero.
Quando precisamos realizar determinados cálculos ou representar graficamente uma quádrica,
essa equação é utilizada.
Em relação às aplicações, bolas de futebol, basquete, pingue-pongue, entre outras, apresentam
um formato esférico.
Figura 1 – Formato esférico
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Crédito: Joliedame13/Shutterstock.
A ponta de uma caneta esferográfica também é formada por uma esfera.
Figura 2 – Esfera
Crédito: Collagearts/Pixabay.
Um elipsoide foi utilizado como base para a construção do Teatro Nacional de Beijing, na China.
Figura 3 – Elipsoide
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Crédito: Excellentcc/Pixabay.
Torres de usinas nucleares e de usinas movidas à carvão apresentam o formato de um
hiperboloide. É um formato muito adequado para as torres, pois o formato utilizado otimiza o
processo de resfriamento dos gases.
Figura 4 – Hiperboloide
Crédito: Distelapparath/Pixabay.
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Muitos holofotes utilizam uma estrutura interna com formato de um paraboloide para direcionar
os feixes de luz.
Figura 5 – Paraboloide
Crédito: Danielkirsch/Pixabay.
Nesta aula, estudaremos as equações e representações das quádricas.
TEMA 2 – ELIPSOIDE E ESFERA
Ao rotacionarmos uma elipse, a quádrica obtida é um elipsoide. A respectiva equação é:
Nessa equação, C(x0, y0, z0) é o centro e os termos a, b e c são os semieixos das elipses obtidas
pelas intersecções dos planos paralelos aos planos coordenados xy, xz e yz com o elipsoide.
Figura 6 – Elipsoide representado graficamente
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Fonte: o autor.
Em particular, quando os semieixos são iguais, ou seja, quando a = b = c, temos uma esfera de
raio r = a.
Figura 7 – Esfera representada graficamente
Fonte: o autor.
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A equação da esfera é dada por:
Agora que já sabemos qual é a equação do elipsoide e qual é a equação da esfera, vamos ver
alguns exemplos em que vamos escrever essas equações com base nas informações dadas.
2.1 EXEMPLO 1
Qual é a equação reduzida do elipsoide com centro no ponto C(2, –4, 1) e semieixos a = 5, b = 2
e c = 7?
Resolução: nesse caso, temos x0 = 2, y0 = –4, z0 = 1, a = 5, b = 2 e c = 7. Substituindo esses
valores na fórmula a seguir, temos:
Esta é a equação reduzida do elipsoide.
2.2 EXEMPLO 2
Qual é a equação reduzida da esfera de centro C(4, 4, 1), que tem raio 
r = 6?
Resolução: considerando a fórmula , com x0 = 4, y0 = 4, z0 = 1 e
r = 6, temos:
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2.3 EXEMPLO 3
Uma esfera tem equação x2 + y2 + z2 + 2x – 10y – 4z + 5 = 0. Com base nessas informações,
obtenha as coordenadas do centro e o raio dessa esfera.
Resolução: vamos, inicialmente, agrupar os termos em x, y e z:
x2 + 2x + y2 – 10y + z2 – 4z + 5 = 0
A partir de x2 – 2x, y2 – 10y e z2 – 4z, vamos completar os quadrados desses termos para que
possamos escrever as expressões na forma fatorada.
Para x2 + 2x, vamos dividir o coeficiente de x – nesse caso, 2 – por 2 e vamos elevar ao quadrado
o resultado, o que resulta em   = 1 e 12 = 1. Logo, precisamos somar 1 e –1 nessa expressão.
Considerando agora y2 –10y, basta dividirmos 10 por 2 e elevarmos o resultado ao quadrado. Assim, 
 = 5 e 52 = 25. Portanto, temos que somar e subtrair 25 aos termos em y. Finalmente, para z2 – 4z,
temos  = 2 e 22 = 4. Precisamos somar e subtrair 4 a esses termos.
x2 + 2x + 1 – 1 + y2 – 10y + 25 – 25 + z2 – 4z + 4 – 4 + 5 = 0
Fazendo, por produtos notáveis, temos x2 + 2x + 1 = (x + 1)2, y2 – 10y + 25 = (y – 5)2 e z2 – 4z +
4 = (z – 2)2. Então:
(x + 1)2 – 1 + (y – 5)2 – 25 + (z – 2)2 – 4 + 5 = 0
Somando os termos –1, –25, –4 e 5, temos:
(x + 1)2 + (y – 5)2 + (z – 2)2 – 25 = 0
(x + 1)2 + (y – 5)2 + (z – 2)2 = 25
Comparando essa expressão com a fórmula , temos o centro
C(–1, 5, 2) e o raio r = 5.
TEMA 3 – HIPERBOLOIDES
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Seguindo os mesmos princípios, ao rotacionarmos uma hipérbole em torno do seu eixo, temos
uma figura tridimensional chamada de hiperboloide.
Como podemos ter hipérboles de uma ou de duas folhas, o mesmo ocorre com os
hiperboloides.
Figura 8 – Hiperboloides de uma ou de duas folhas
Fonte: o autor.
Dependendo da orientação em relação a cada um dos eixos coordenados, temos algumas
possibilidades para as fórmulas dos hiperboloides. Veremos a seguir cada uma delas.
Nas respectivas equações, os termos x0, y0 e z0 estão relacionados às coordenadas do centro, em
que a é o semieixo na direção do eixo x, b o semieixo em relação ao eixo y, e c é o semieixo na
direção do eixo z.
Quando temos um hiperboloide de uma folha em relação ao eixo x, a equação corresponde a:
O gráfico é um hiperboloide no sentido desse eixo.
Figura 9 – Hiperboloide no sentido do eixo x
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Fonte: o autor.
Para o hiperboloide de uma folha em relação ao eixo y, temos a seguinte equação e a respectiva
representação gráfica (Figura 10).
Figura 10 – Hiperboloide no sentido do eixo y
Fonte: o autor.
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No caso do hiperboloide de uma folha em relação ao eixo z, temos a seguinte equação e a
respectiva representação gráfica (Figura 11).
Figura 11 – Hiperboloide no sentido do eixo z
Fonte: o autor.
Vamos ver agora os hiperboloides de duas folhas. A equação e o gráfico associados ao
hiperboloide de duas folhas em relação ao eixo x correspondem a:
Figura 12 – Hiperboloide de duas folhas em relação ao eixo x
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Fonte: o autor.
Para o hiperboloide de duas folhas em relação ao eixo y, temos:
Figura 13 – Hiperboloide de duas folhas em relação ao eixo y
Fonte: o autor.
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Quanto ao hiperboloide de duas folhas em relação ao eixo z, a equação e o gráfico são,
respectivamente:
Figura 14 –  Hiperboloide de duas folhasem relação ao eixo z
Fonte: o autor.
Vamos acompanhar alguns exemplos relacionados aos hiperboloides.
3.1 EXEMPLO 1
Escreva a equação reduzida do hiperboloide que está no sentido do 
eixo x, cujo centro é C(9, 3, –2) e tem semieixos a = 6, b = 4 e c = 11.
Resolução: por meio da equação , podemos fazer as
substituições necessárias:
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3.2 EXEMPLO 2
Uma empresa está projetando uma torre de resfriamento e, para otimizá-lo, o formato é de um
hiperboloide de uma folha. Para o projeto, será preciso modelar matematicamente essa torre e, em
seguida, realizar testes computacionais para, se necessário, redimensionar a torre. As medidas iniciais
são 18 metros de altura e 6 metros de diâmetro na parte central da torre. Sabendo que a torre está
na direção do eixo z, escreva a respectiva equação reduzida.
Figura 15 – Exemplo 1
Fonte: o autor.
Resolução: vamos considerar que o centro do hiperboloide está na origem de um sistema
tridimensional de eixos coordenados. Assim, C(0, 0, 0), ou seja, x0 = 0, y0 = 0 e z0 = 0. Como o
diâmetro central é igual a 6 metros, cada um dos respectivos semieixos a e b correspondem a 3.
Sabemos que a altura do hiperboloide é igual a 18 metros. Assim, o semieixo c é igual a 9.
Substituindo esses dados na fórmula , temos:
Logo, a equação reduzida que modela matematicamente a torre é .
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TEMA 4 – PARABOLOIDE
Outra quádrica muito importante e utilizada em muitos objetos do cotidiano é o paraboloide
elíptico. Essa quádrica recebe esse nome, pois os traços consistem em parábolas e em elipses.
Figura 16 – Paraboloide
Fonte: o autor.
Podemos observar paraboloides em luminárias, na construção de holofotes, em cúpulas, em
pontas de objetos, entre outras situações. A seguir, vamos estudar equações de paraboloides
elípticos que seguem a direção de cada um dos eixos coordenados.
Paraboloide elíptico ao longo do eixo x:
Figura 17 – Paraboloide elíptico ao longo do eixo x
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Fonte: o autor.
Paraboloide elíptico ao longo do eixo y:
Figura 18 – Paraboloide elíptico ao longo do eixo y
Fonte: o autor.
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Paraboloide elíptico ao longo do eixo z:
Figura 19 – Paraboloide elíptico ao longo do eixo z
Fonte: o autor.
É importante ressaltar que os termos a e b estão relacionados aos semieixos da elipse e x0 e y0
são as coordenadas do vértice do paraboloide.
4.1 EXEMPLO DE APLICAÇÃO: PARABOLOIDE
A parte interna de uma peça metálica precisa ter o formato de um paraboloide elíptico no
sentido do eixo z. Para a obtenção dessa peça, será necessária a respectiva equação. Sabendo que o
vértice está no ponto (4, 5, 0), que o semieixo a é igual a 3 e que o semieixo b é igual a 5, obtenha a
equação reduzida do paraboloide elíptico que está ao longo do eixo z.
Resolução: utilizando a fórmula , obtemos a equação do respectivo
paraboloide elíptico:
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4.2 PARABOLOIDES HIPERBÓLICOS
É muito comum também a existência de paraboloides hiperbólicos. Uma certa marca de batata
frita muito famosa tem batatas em forma de paraboloide hiperbólico.
Figura 20 – Batatas em forma de paraboloide hiperbólico
Crédito: Didgeman/Pixabay.
A representação gráfica de um paraboloide hiperbólico pode ser observada a seguir.
Figura 21 – Representação gráfica de um paraboloide hiperbólico
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Fonte: o autor.
Podemos ter, basicamente, paraboloides hiperbólicos ao longo dos eixos coordenados, cujas
fórmulas são:
paraboloide hiperbólico ao longo do eixo x:
paraboloide hiperbólico ao longo do eixo y:
paraboloide hiperbólico ao longo do eixo z:
Por meio dessas equações, é possível obtermos as representações gráficas de cada um deles.
4.2.1 EXEMPLO
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Obtenha a equação canônica do paraboloide hiperbólico que se encontra ao longo do eixo y
com x0 = 2, z0 = 6, a = 3 e c = 2.
Resolução: utilizando a fórmula , temos:
Paraboloides hiperbólicos são comuns no estudo de problemas de otimização de funções de
várias variáveis e os respectivos gráficos são conhecidos como gráficos de sela, em razão da
semelhança com a sela de um cavalo.
TEMA 5 – SUPERFÍCIES CÔNICAS
Uma superfície cônica é gerada por meio da rotação de uma reta em torno de um eixo
coordenado.
A superfície cônica elíptica no sentido do eixo x tem equação .
Figura 22 – Superfície cônica
Fonte: o autor.
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No caso da superfície cônica elíptica no sentido do eixo y, a equação é dada por 
.
Figura 23 – Superfície cônica elíptica no sentido do eixo y
Fonte: o autor.
Para a superfície cônica elíptica no sentido do eixo z, a equação corresponde a 
.
Figura 24 – Superfície cônica elíptica no sentido do eixo z
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Fonte: o autor.
5.1 EXEMPLO
Considere a reta z = 3y, x = 0, pertencente ao plano yz. Rotacionando a reta em torno do eixo z,
qual é a equação da superfície cônica obtida?
Resolução: a superfície de revolução obtida é a cônica que tem vértice na origem do sistema de
eixos coordenados.
Para obtermos a respectiva equação, vamos substituir y por .
Assim:
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
Escrevendo na forma canônica , temos:
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Fazendo a divisão de x2 por  e de y2 por , temos a equação procurada.
FINALIZANDO
Nesta e nas demais aulas, estudamos vetores e suas respectivas operações, retas, planos,
distâncias, cônicas e quádricas. Vimos algumas aplicações relacionadas a esses conteúdos, mas
dentro das diversas áreas do conhecimento há muito mais situações reais que podem ser resolvidas
por meio da Geometria Analítica.
REFERÊNCIAS
BORIN JUNIOR, A. M. S. (Org.). Geometria analítica. São Paulo: Pearson Education do Brasil,
2014.
FERNANDES, L. F. D. Geometria Analítica. Curitiba: InterSaberes, 2016.
SANTOS, F. J. dos; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Artmed, 2009.
THOMAS, G. B.; HASS, J.; WEIR, M. D. Cálculo. 12 ed. São Paulo: Pearson, 2008. 2 v.
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.
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