Questão 25 - Pág 115 - Equações Diferenciais - Zill

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Questão 25 – Página 115 AID: 20 | 15/08/2016
Enunciado:
Um tanque está parcialmente cheio com 100 litros de fluido nos quais 10 g de sal são dissolvidos. Uma solução salina contendo 0,5 g de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6 litros por minuto. A mistura é então drenada a uma taxa de 4 litros por minuto. Descubra quantos gramas de sal haverá no tanque após 30 minutos.
Solução:
Seja a quantidade de sal ( em gramas) no tanque no instante . Para problemas desse tipo, a taxa de variação de é dada por:
Agora, a taxa pela qual o sal entra no tanque é, em gramas por minuto:
Se a solução é drenada a uma taxa de 4 litros por minuto, então a solução se acumula a uma taxa de:
Depois de minutos há litros de solução no tanque. A taxa na qual o sal é drenado é portanto:
Com isso a equação torna-se:
A qual devemos resolver sujeita a condição .
Como o fator de integração é , podemos escrever a expressão da seguinte forma:
Integrando a expressão obtida, temos:
Quando , , logo encontramos . Finalmente, para sabermos quantos gramas de sal haverá no tanque após 30 minutos devemos fazer o seguinte cálculo:
(
)
(
)
1
6 l/min x 0,5 /
 3 /min
Rgl
g
=
=
(
)
64 l/min = 2 l/min
-
t
5005
t
-
(
)
2
4 l/min x /
1002
4
 /min
1002
A
Rgl
t
A
l
t
æö
=
ç÷
+
èø
=
+
4
 3
1002
2
 3
50
2
3
50
dAA
dtt
dAA
dtt
dAA
dtt
=-
+
=-
+
+=
+
(
)
010
A
=
(
)
2
50
t
+
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
222
22
22
2
5050350
50
 50250350
 50350
dAA
ttt
dtt
tdAAttdt
dAttdt
++×+=×+
+
++×+=×+
éù
+=×+
ëû
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
22
23
2
2
50350
 5050
 5050
 5050
dAttdt
Attc
Atct
Attct
-
-
éù
+=×+
ëû
+=++
=+++
=+++
òò
0
t
=
10
A
=
100.000
c
=-
(
)
(
)
(
)
2
 5050
3064,38
Attct
Ag
-
=+++
=
()
At
t
12
 taxa de taxa de 
()
entrada de salsaída de sal
 
dAt
dt
RR
æöæö
=+
ç÷ç÷
èøèø
=-