PC_2018-1_EP07_Circulo-Trigonometrico_Seno e Cosseno_GABARITO

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EP 07 – 2018-1 – Gabarito – Círculo trigonométrico - seno e cosseno Pré-Cálculo 
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CEDERJ 
Gabarito EP 07 
Pré-Cálculo 
____________________________________________________________________________________ 
Exercício 1: Faça o que se pede em cada item. 
a) Calcule o comprimento do arco de uma circunferência de raio 2, cujo ângulo central é 30°. 
Resolução: 𝑙 = 2.30.
𝜋
180
=
𝜋
3
. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Dê a medida em radianos dos ângulos 72°, 210°, 270° e 315°. 
Resolução: 72° = 72.
𝜋
180
=
2𝜋
5
 rad; 210° = 210.
𝜋
180
=
7𝜋
6
 rad; 270° = 270.
𝜋
180
=
3𝜋
2
 rad: 
315° = 315
𝜋
180
=
7𝜋
4
 rad. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) Determine o valor do raio 𝑟, tal que o comprimento do arco subtendido ao ângulo de 60° seja 3𝜋. 
Resolução: 3𝜋 = 60
𝜋
180
. 𝑟 ⟹ 𝑟 = 9. 
____________________________________________________________________________________ 
Exercício 2: 
a) Se sen 𝑥 = 3/5 e 𝑥 é um ângulo do 2º quadrante, determine cos 𝑥. 
Resolução: (
3
5
)
2
+ cos2 𝑥 = 1 ⟹ cos2𝑥 = 1 − (
3
5
)
2
⟹ cos 𝑥 = ±√1 − (
3
5
)
2
 
cos 𝑥 = −√1 − (
3
5
)
2
 = −
4
5
 , pois no 2º quadrante o cosseno é negativo. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Determine o sinal de I) sen 282° II) cos 241° III) sen 148° 
Resolução: I) 180° < 282° < 360° ⟹ 𝑠𝑒𝑛 282° < 0 ; II) 180° < 241° < 270° ⟹ cos 241° < 0; 
III) 90° < 148° < 180° ⟹ sen 148° > 0. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) Determine o seno e o cosseno de I) 
19𝜋
6
 II) 1530° III) −
5𝜋
4
 
Resolução: I) 
19𝜋
6
= 2𝜋 +
7𝜋
6
 ⟹ cos
19𝜋
6
 = cos
7𝜋
6
 , como 
7𝜋
6
= 𝜋 +
𝜋
6
 , temos por simetria, que 
cos
7𝜋
6
= −cos
𝜋
6
= −
√3
2
 e sen
7𝜋
6
= −sen
𝜋
6
 = −
1
2
 . 
II) 1530° = 4 × 360° + 90°, logo cos 1530° = cos 90° = 0 e 𝑠𝑒𝑛 1530° = 𝑠𝑒𝑛 90° = 1. 
III) −
 5𝜋
4
= −2 𝜋 +
 3𝜋
4
 , logo cos (−
 5𝜋
4
) = cos (
 3𝜋
4
) = −
√2
2
 e sen (−
 5𝜋
4
) = sen
 3𝜋
4
=
√2
2
. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
EP 07 – 2018-1 – Gabarito – Círculo trigonométrico - seno e cosseno Pré-Cálculo 
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d) Localize os ângulos no círculo trigonométrico e coloque os 
valores em ordem crescente: 
sen70°, sen160°, sen250°, sen300°. (Não precisa calcular os valores 
exatos!) 
Resolução: sen 250° < sen 300° < sen 160° < sen 70° . 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 3: 
Resolva as equações em [0,4𝜋]: 
a) sen 𝑥 =
√3
2
 b) cos 𝑥 = −1. 
Resolução: a) Por simetria no círculo trigonométrico, 
dando 2 voltas, temos 
𝑆 = {
 𝜋
3
,
 2𝜋
3
 ,
 𝜋
3
+ 2𝜋 ,
 2𝜋
3
+ 2𝜋} = {
 𝜋
3
,
 2𝜋
3
,
 7𝜋
3
,
 8𝜋
3
}. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
b) 𝑆 = {𝜋 , 𝜋 + 2𝜋} = {𝜋, 3𝜋}. 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 4: 
Calcule o que se pede em cada item. 
a) Calcule k, tal que sen 𝑥 = 1 + 4𝑘 𝑒 cos 𝑥 = 1 + 2𝑘. 
Resolução: Usando a identidade trigonométrica fundamental, temos: 
sen2(𝑥) + cos2(𝑥) = 1 ⟹ (1 + 4𝑘)2+(1 + 2𝑘)2 = 1 ⟺ 
 (16 𝑘2 + 8𝑘 + 1) + (4𝑘2 + 4𝑘 + 1) = 1 ⟺ 20𝑘2 + 12𝑘 + 2 = 1 ⟺ 
20𝑘2 + 12𝑘 + 1 = 0 ⟹ 𝑘 =
−12 ± √122 − 4.20.1
2.20
 ⟹ 𝑘 =
−12 ± 8
40
 ⟹ 
 𝑘 = −
1
2
 𝑜𝑢 𝑘 = −
1
10
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
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b) Se sen 𝑥 + cos 𝑥 = 1 + 3𝑎 e sen 𝑥 − cos 𝑥 = 1 − 𝑎, calcule a. 
Resolução: Somando as duas equações, temos 2 sen 𝑥 = 2 + 2𝑎 ⟹ sen 𝑥 = 1 + 𝑎. 
Usando a 1ª equação, temos cos 𝑥 = 1 + 3𝑎 − sen 𝑥 = 1 + 3𝑎 − (1 + 𝑎) = 2𝑎. 
Pela identidade trigonométrica fundamental, segue que 
(1 + 𝑎)2 + 4𝑎2 = 1 ⟺ 5𝑎2 + 2𝑎 + 1 = 1 ⟺ 5𝑎2 + 2𝑎 = 0 ⟺ 𝑎 = 0 𝑜𝑢 𝑎 = −
2
5
 . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) Se cos 𝑥 = 2 sen 𝑥, calcule sen 𝑥. 
Resolução: Pela identidade trigonométrica fundamental, segue que 
4 sen2 𝑥 + sen2 𝑥 = 1 ⟺ 5 sen2 𝑥 = 1 ⟺ sen 𝑥 =
√5
5
 ou sen 𝑥 = −
√5
5
 . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
d) Se sen2 𝑥 − sen 𝑥 = 2 cos2 𝑥, calcule cos 𝑥. 
Resolução: Pela identidade trigonométrica fundamental, sen2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 , segue que 
sen2 𝑥 − sen 𝑥 = 2 − 2 sen2 𝑥 ⟺ 3 sen2 𝑥 − sen 𝑥 − 2 = 0. 
Fazendo 𝑡 = sen 𝑥 na equação acima, e resolvendo a equação do 2º grau 3𝑡2 − 𝑡 − 2 = 0, as raízes são 
𝑡 = 1 ou 𝑡 = −
2
3
. Assim, sen 𝑥 = 1 𝑜𝑢 sen 𝑥 = −
2
3
 . 
Se sen 𝑥 = 1, temos da equação original que cos 𝑥 = 0. 
E se sen 𝑥 = −2/3, temos da equação original que: 
4
9
+
2
3
= 2 cos2 𝑥 ⟺ cos2 𝑥 =
10
18
 ⟺ cos 𝑥 = ±√
5
9
 . 
Os possíveis valores do cos 𝑥 são 0 ou ±√
5
9
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
e) Se sen 𝑥 . cos 𝑥 = 𝑎, calcule o valor de 𝑦 = (sen 𝑥 + cos 𝑥)2 em função de 𝑎. 
Resolução: 𝑦 = (sen 𝑥 + cos 𝑥)2 = sen2 𝑥 + 2 sen 𝑥 cos 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 + 2 sen 𝑥 cos 𝑥 = 1 + 2𝑎. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 5: 
O que você acha sobre a igualdade cos 3𝑥 = 3 cos 𝑥, é falsa ou verdadeira em ℝ? 
Resolução: Podemos dar vários exemplos em que a igualdade acima é falsa, escolhendo um deles, 
𝑥 =
𝜋
3
, temos que cos 3 ∙
𝜋
3
= cos 𝜋 = −1, mas 3cos
𝜋
3
= 3 ∙
1
2
=
3
2
 . 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 6: 
Calcule o valor de sen4 𝑥 − cos4 𝑥 + cos 2𝑥 . 
Resolução: 
sen4 𝑥 − cos4 𝑥 + cos 2𝑥 = (sen2 𝑥 + cos2 𝑥)⏟ 
=1
(sen2 𝑥 − cos2 𝑥)⏟ 
=−(cos2 𝑥−sen2 𝑥)
+ cos 2𝑥 = −cos 2𝑥 + cos 2𝑥 = 0. 
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Exercício 7: 
Simplifique as expressões abaixo: 
a) 
cos2 𝑥−sen2 𝑥
cos2 𝑥−sen𝑥 cos𝑥
 
b) 
cos(
π
2
 − x)sen(
π
2
 − x)cos (π+x)
sen(π − x) cos(x − 2π)cos (
π
2
 + x)
 
Resolução: 
a) 
cos2 𝑥−sen2 𝑥
cos2 𝑥−sen𝑥 cos𝑥
=
(cos𝑥− sen𝑥)(cos𝑥+sen𝑥)
cos𝑥(cos𝑥−sen𝑥)
=
(cos𝑥+sen𝑥)
cos𝑥
= 1 +
sen𝑥
cos𝑥
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) 
cos(
𝜋
2
 − 𝑥) sen(
𝜋
2
 − 𝑥)cos (𝜋+𝑥)
sen(𝜋 − 𝑥) cos(𝑥 − 2𝜋)cos (
𝜋
2
 + 𝑥)
 = 
sen𝑥 cos𝑥(− cos𝑥)
sen𝑥 cos𝑥(− sen𝑥)
=
cos 𝑥
sen𝑥 
. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 8: 
a) Calcule sen 105° . 
Resolução: 
Uma resolução: 
sen 105° = sen(60° + 45°) = sen 60° cos 45° + sen45° cos 60° =
√3
2
∙
√2
2
+
√2
2
∙
1
2
=
√6+√2
4
. 
Outra resolução: 
Pela fórmula do arco metade, sen2 105° =
1−cos210°
2
=
1−cos(180°+30°)
2
=
1−(−cos(30°))
2
=
1+
√3
2
2
=
2+√3
4
, 
assim sen 105° = ±√
2+√3
4
 , mas como o ângulo 105° é do 2º quadrante, sen 105° > 0, logo 
sen 105° =
√2+√3
2
. 
Aparentemente as respostas são diferentes, mas vamos verificar que as duas respostas são iguais. Como 
ambas são positivas, basta verificar que os seus quadrados são iguais. 
(
√2+√3
2
)
2
=
2+√3
4
 e (
√6+√2
4
)
2
=
6+2√12+2
16
=
8+2∙2√3
16
=
8+4√3
16
=
4(2+√3)
16
=
2+√3
4
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) Calcule cos 15°. 
Resolução 
Uma resolução: 
cos 15° = cos(60° − 45°) = cos 60° cos 45° + sen 60° sen 45° =
1
2
∙
√2
2
+
√3
2
∙
√2
2
=
√6+√2
4
. 
Outra resolução: 
EP 07 – 2018-1 – Gabarito – Círculo trigonométrico - seno e cosseno Pré-Cálculo 
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Pela fórmula do arco metade, cos2 15° = 
 1+cos30°
2
 = 
1+
√3
2
2
 = 
2+√3
4
 , e como o ângulo é do 1º 
quadrante, cos 15° > 0, logo cos 15° =
√2+√3
2
. 
Já foi mostrado no item a) que os valores 
 √2+√3
2
 e 
 √6+√2
4
 são iguais. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 9: 
Mostre que sen 𝑥 + cos 𝑥 = √2 cos (𝑥 − 
𝜋
4
). 
Resolução: 
√2 cos (𝑥 − 
𝜋
4
) = √2 cos 𝑥 cos (
𝜋
4
) + √2 sen 𝑥 sen (
𝜋
4
) = √2.
√2
2
. cos 𝑥 + √2.
√2
2
. sen 𝑥 =
√2.
√2
2
. (sen𝑥 + cos 𝑥) = sen 𝑥 + cos 𝑥.