REVISÃO UNIDADE 3 Cálculo Diferencial e Integral II

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Cálculo Diferencial e Integral II
Unidade 3
Funções de várias variáveis e derivadas parciais 
ÍNDICE
1. Revisão da unidade
2. Estudo de caso
3. Síntese
4. Encerramento
1- Revisão da unidade
Vamos rever os conceitos de cálculos de áreas com as integrais
Função de duas váriaveisEm um primeiro momento, discutimos sobre função de duas
variáveis. Lembre-se de que uma função é uma relação entre variáveis e, no caso da
função de duas variáveis, temos uma relação entre todo par ordenado (x,y) pertencente
ao conjunto (D) , denominado de domínio, a um único elemento f (x,y)=z pertencente ao
conjunto (E) , denominado de contradomínio. No que se refere ao domínio, é importante
que você se atente ao fato de que não existe divisão por zero, não existe raiz de índice
par de número negativo e não existe logaritmo de número negativo ou zero. 
+ INFO> Assim, quando você for analisar o domínio de funções de duas ou mais
variáveis, você deve excluir os pares, ou termos ordenados que se originam de uma
dessas situações. Já a imagem de uma função são todos os valores possíveis que a
função pode assumir quando substituímos valores arbitrários do domínio em sua lei de
formação. Uma forma de avaliarmos a imagem de uma função de duas variáveis é por
meio do seu gráfico, que é definido como o conjunto de todos os pontos (x,y,z em x³, tal
que z=f (x,y) e (x,y) e D.
Derivadas parciais de uma função de duas variáveisEm um segundo momento,
discutimos sobre as derivadas parciais de uma função de duas variáveis. Quando você
estiver calculando a derivada parcial, deve-se atentar ao fato de que, quando derivamos
em relação a uma variável, a outra consideramos como sendo constante. Assim, se
estiver calculando a derivada parcial em relação a “x”, isto é “fx”, você mantém constante
a variável y e varia x . Analogamente, se estiver calculando a derivada parcial em relação
a y, isto é, fy, você mantém constante a variável x e varia y . Para o cálculo das derivadas
parciais de primeira ordem de uma função de duas variáveis, isto é fx, e fy, você pode
utilizar todas as regras de derivação de função de uma variável, visto que, quando
mantemos uma das variáveis constante, transformamos a função de duas variáveis em
apenas uma variável. 
+ INFO> Quando necessário, você pode calcular as derivadas parciais de segunda ordem
de uma função de duas variáveis e, para isso, deve calcular as derivadas parciais
considerando as derivadas de primeira ordem. Quando fazemos isso, podemos ter as
seguintes derivadas de segunda ordem:
Por fim, discutimos sobre as derivadas direcionais, que são utilizadas para calcular taxas 
de variação de uma função em relação a qualquer direção. Portanto, se que
delimita inferiormente a área, com os limites de integração adequados, isto é 
possui derivada em 
 
 
e se 
 é um vetor unitário, então a derivada direcional 
 será dada por
 
Assim, encerramos o 
nosso pequeno resumo dos conteúdos de nossa unidade. Espero que você tenha 
gostado! 
2- Estudo de caso
Vamos relacionar os nossos conhecimentos com uma situação da nossa realidade.
Apresentação
Olá, estudante! 
Para contextualizar sua aprendizagem, suponha que você faça parte de um grupo
formado por jovens profissionais de diferentes áreas, de uma startup relacionada à
indústria 4.0, utilizando seus conhecimentos de engenharia, programação e matemática.
Essa startup tem como objetivo desenvolver softwares que permitam realizar um estudo
quantitativo sobre a produção de uma indústria considerando a quantidade de trabalho,
isto é, a quantidade total de horas trabalhadas. 
Após um intenso estudo, você encontrou uma função que modela a produção, a saber, a
função de produção de Cobb-Douglas. Essa função foi desenvolvida em 1928 por Charles
Cobb e Paul Douglas e foi baseada em uma visão mais simplificada da economia,
considerando que a saída da produção é determinada pela quantidade de trabalho
envolvido e pela quantidade de capital investido. Apesar de existirem outras variáveis que
afetam o desenvolvimento da economia, esse modelo se mostra bastante preciso, por
isso, você decidiu utilizá-lo na construção do seu software.
Figura 3 | Esboço da praça e das curvas na qual a praça é baseada 
Fonte: elaborada pelo autor. 
A função Cobb-Douglas se baseia na produção total (valor monetário dos bens produzidos
no ano), na quantidade de trabalho (número total de pessoas-hora trabalhadas em um 
ano) e na quantidade de capital investido (valor monetário de máquinas, equipamentos e 
prédios). Matematicamente, a função é expressa por
em que P é produção total,L a quantidade de trabalho e K a quantidade de capital 
investido e são parâmetros fixos. 
Após a implementação dessa função, você decidiu realizar estudos teóricos.
Sua primeira tarefa é encontrar o domínio dessa função, visto que, se esse não for
considerado corretamente no momento da implementação da função, teremos problemas 
no software. Depois, considerando que “b=1,456 e “a=0,60”, calcule a produção total em
um ano quando a quantidade de capital investido é de R$ 50.000,00 e a quantidade de
trabalho é 2.200 horas. 
Sua segunda tarefa é avaliar a produção marginal em relação à quantidade de trabalho e
em relação à quantidade de capital investido. Depois, encontrar essa produção quando a
quantidade de capital investido é de R$ 50.000,00 e a quantidade de trabalho é 2.200
horas. Para isso, considere que “b=1,456 e “a=0,60”.
Por fim, você deve avaliar a produção marginal quando a quantidade de capital investido
é de R$ 50.000,00 e a quantidade de trabalho é 2.200 horas e essa variação está na
direção do vetor 
Nesse momento, considere também que “b=1,456 e “a=0,60”. 
Como você executaria cada tarefa? Quais são os principais conceitos envolvidos nesse 
estudo teórico?
Reflita
A função de produção de Cobb-Douglas é amplamente utilizada na Economia, pois
descreve a forma como os fatores produtivos são combinados. Essa função considera
uma visão simplificada desses fatores, considerando apenas o fator capital e o fator
trabalho. 
Ao analisarmos a produção marginal em relação ao trabalho, estamos calculando a taxa
de variação da produção em relação ao trabalho, ou ainda a produtividade marginal do
trabalho. Analogamente, quando estamos avaliando a produção marginal em relação ao
trabalho, estamos encontrando a taxa de variação da produção em relação ao capital, ou
ainda a produtividade marginal do capital. 
Com base nesse contexto, nossas reflexões para iniciar a solução do nosso problema
são: com base no que estudamos nessa unidade, quais conceitos você pode utilizar para
realizar cada uma das tarefas propostas? Podemos utilizar as derivadas parciais? Se sim,
quais regras de derivação utilizaremos? Como podemos calcular a taxa de variação em
direção a um determinado vetor? O que é necessário para realizar esse cálculo?
Resolução
Antes de iniciarmos a solução do problema, retomaremos suas tarefas. A primeira delas é 
encontrar o domínio da função de produção de Cobb-Douglas e calcular o seu valor 
quando k= 50000 L= 2200 horas. Sua segunda tarefa é analisar a produção marginal e, 
depois, calcular essa produção quando K= 50000 L=2200 horas. Sua terceira e última 
tarefa é avaliar a produção marginal quando K=50000 L=2200 horas e essa variação está 
na direção do vetor 
Agora que você já relembrou quais são suas
tarefas, vamos colocar a mão na massa e
resolvê-las. 
Primeira tarefa: para encontrarmos o domínio
da função, você deve se lembrar de que o
domínio são todos os valores que as variáveis L
e K podem assumir. Sabemos que a função de
produção de Cobb-Douglas é dada por 
 
, e que b e a são parâmetros fixos, o domínio dessa função seriam todos os pares 
ordenados 
Porém, essa função modela uma situação relacionada à economia, assim, além dessa
análise matemática, é importante que vocêconsidere o significado dessas variáveis.
refere-se à quantidade de trabalho ao final de um ano. Essa quantidade pode ser
negativa? refere-se ao capital investido. Esse capital pode ser um valor negativo? Em
ambos os casos, as variáveis não podem assumir valores negativos, mas podem ser zero,
o que acarretaria uma produção nula. Assim, o domínio dessa função são todos os pares
ordenados 
Para calcularmos a produção quando K=50000 L=2200, devemos considerar que b=1.456
e a=0,60. Realizando as substituições necessárias na função
Logo, a produção total é de 
Segunda tarefa: nessa tarefa, você deve analisar a produção marginal, isto é, a derivada 
da função produção em relação a cada uma das variáveis. Considerando que e são 
parâmetros fixos, temos que a derivada parcial da função P em relação a L será dada 
por:
Analogamente, a derivada parcial em relação a K será dada por:
Assim, a
produtividade
marginal do trabalho
será dada por 
e a produtividade marginal do capital será dada por
Agora, temos que calcular essa produtividade marginal do trabalho considerando b= 
1,456 a= 0,60 K=50000 e L=2200.
Analogamente, teremos a produtividade marginal do capital:
Portanto, a produtividade marginal do trabalho é de, aproximadamente, 3,05 , e a
produtividade marginal do capital é de, aproximadamente 0,09.
Terceira tarefa: nessa tarefa, você deve encontrar a derivada direcional da função dada
quando a variação está na direção do vetor
Para o cálculo da derivada direcional, o primeiro passo é
encontrar as derivadas parciais de primeira ordem no ponto
dado. Já realizamos esse passo na tarefa anterior. O segundo passo é verificar se o vetor
dado é unitário, o que é o nosso caso. Agora, podemos calcular a derivada direcional: 
Portanto, essa é a produção marginal quando a quantidade de capital investido é de R$
50.000,00 e a quantidade de trabalho é 2.200 horas e essa variação está na direção do 
vetor
3- Síntese
Vamos relembrar conceitos de gradiente e integrais duplas, e suas aplicações aprendidos
nessa unidade.
Síntese da aula
Você pôde internalizar conceitos fundamentais sobre cálculo das áreas com as integrais. 
Além disso, aprendeu sobre esse processo por meio da prática. 
E para finalizar vamos organizar os conceitos acessando o inforgráfico abaixo.
4- Encerramento
Com o conteúdo exposto, esperamos que você tenha compreendido os conceitos e
aplicações desta unidade e Incentivamos que você se aprofunde nessa temática.
REFERÊNCIAS
ANTON, H. et al. Cálculo. v. 2. Porto Alegre, RS: Bookman, 2014.
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2013.