Lista_I

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UNIPAMPA - Campus Alegrete
Disciplina: Cálculo I
Professor: João Pĺınio Juchem Neto
Semestre: 01/2017
Lista de Exerćıcios I
1. Determine todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo e os
represente geometricamente.
a) 2x− 5 < 1
3
+ 3x
4
+ 1−x
3
b) 2 > −3− 3x ≥ −7
c) x2 ≤ 9
d) 1− x− 2x2 ≥ 0
e) x+1
2−x <
x
3+x
f) x
x−3 < 4
2. Resolva as equações abaixo.
a) |5x− 3| = 12
b) |2x− 3| = |7x− 5|
c)
∣
∣
3x+8
2x−3
∣
∣ = 4
d) |3x+ 2| = 5− x
3. Resolva as inequações abaixo.
a) |5− 6x| ≥ 9
b) |6 + 2x| < |4− x|
c) |3x| > |5− 2x|
d)
∣
∣
7−2x
5+3x
∣
∣ ≤ 1
2
e) 1 < |x+ 2| < 4
f)
∣
∣
2+x
3−x
∣
∣ > 4
g)
∣
∣
5
2x−1
∣
∣ ≥
∣
∣
1
x−2
∣
∣
h) |x|+ 1 < x
4. Encontre o domı́nio das funções abaixo.
a) y = x3 − 2x2 +
√
x− 2
b) y = 1
x2+16
c) y = 1
x2−9
d) y =
√
x
x+2
e) y =
√
x− 2 + 3
√
x+ 3
f) y = 5
√
x− 2 + 3
√
x+ 3
g) y = ln
(
1+x
1−x
)
h) y = e−
√
x2−4
5. Determine quais das funções abaixo são pares ou ı́mpares.
a) f(x) =
√
x2 + 2
b) y = x3 − 3x+ 2
c) f(t) = t5 − 2t3 + t
d) y = |x− 2|
e) f(x) = cosh(x) = e
x+e−x
2
f) f(x) = senh(x) = e
x−e−x
2
g) f(x) = tanh(x) = e
x−e−x
ex+e−x
h) y = e−
√
x2−4
6. Faça o gráfico de cada função abaixo, começando com o gráfico de uma das funções básicas
vistas em aula e em seguida aplicando as transformaçãos apropriadas.
a) y = −x2
b) y = 1 + x2
c) y = (x− 2)2
d) y =
√
x+ 4
e) y = 1 + 2 cosx
f) y = (x+ 2)4 + 3
g) y = ln(x− 1)
h) y = 1 + ln(x+ 2)
i) f(x) = cosh(x) = e
x+e−x
2
1
7. Expresse a quantidade dada como um único logaritmo.
a) ln 5 + 5 ln 3
b) ln(a+ b) + ln(a− b)− 2 ln(c)
c) ln(1 + x2) + 1
2
ln x− ln(sen x)
8. Resolva as equações abaixo, encontrando x.
a) e2x+3 − 7 = 0
b) e−x = 5
c) ln(5− 2x) = −3
d) 2x−5 = 3
e) ln x+ ln(x− 1) = 1
f) ln(ln x) = 1
9. Encontre as funções compostas (i) f ◦ g, (ii) g ◦ f , (iii) f ◦ f e (iv) g ◦ g.
a) f(x) = x2 − 1, g(x) = 2x+ 1
b) f(x) = 1− 3x, g(x) = cosx
c) f(x) =
√
x, g(x) = 3
√
1− x
d) f(x) = x
1+x
, g(x) = sen(2x)
10. Encontre f(x) e g(x) tal que F (x) = f ◦ g.
a) F (x) = 10
√
x2 + 1
b) F (x) = cos(
√
x)
c) F (x) =
√
x
1+
√
x
d) F (x) = e
√
x+2
e) F (x) = ln
(
x
1+x
)
f) F (x) = tanx
1+tanx
11. Quando posśıvel, encontre uma fórmula para a função inversa f−1(x).
a) f(x) =
√
10− 3x
b) f(x) = e−x
2
c) f(x) = 4x−1
2x+3
d) f(x) = ln(x+ 3)
e) f(x) = 2x2 + 1
f) f(x) = e
x
1+2ex
Respostas:
1.a) (−∞, 68/19)
1.b) (−5/3, 4/3]
1.c) [−3, 3]
1.d) [−1, 1/2]
1.e) (−∞,−3) ∪ (2,+∞)
1.f) (−∞, 3) ∪ (4,+∞)
2.a) {−9/5, 3}
2.b) {2/5, 8/9}
2.c) {4/11, 4}
2.d) {−7/2, 3/4}
3.a) (−∞,−2/3] ∪ [7/3,+∞)
3.b) (−10,−2/3)
3.c) (−∞,−5) ∪ (1,+∞)
3.d) [9/7, 19]
3.e) (−6,−3) ∪ (−1, 2)
3.f) (2, 14/3)− {3}
2
3.g) (−∞, 11/7] ∪ [3,+∞)− {1/2}
3.h) ∅
4.a) Dom(f) = [2,∞)
4.b) Dom(f) = R
4.c) Dom(f) = R− {−3, 3}
4.d) Dom(f) = (−∞,−2) ∪ [0,∞)
4.e) Dom(f) = [2,∞)
4.f) Dom(f) = [−3,∞)
4.g) Dom(f) = (−1, 1)
4.h) Dom(f) = (−∞,−2] ∪ [2,∞)
5.a) Par
5.b) Nem par, nem ı́mpar
5.c) Ímpar
5.d) Nem par, nem ı́mpar
5.e) Par
5.f) Ímpar
5.g) Ímpar
6) Use o google fazer o gráfico das funções e confirmar suas respostas.
7.a) ln(5.35)
7.b) ln
[
(a+b)(a−b)
c2
]
7.c) ln
[
(1+x2)
√
x
sen(x)
]
8.a) x = 1
2
(ln 7− 3)
8.b) x = − ln 5 = ln 1
5
8.c) x = 1
2
(5− e−3)
8.d) x = 5 + log2 3
8.e) x = 1±
√
1+4e
2
8.f) x = ee
9.a) f(g(x)) = (2x+ 1)2 − 1, g(f(x)) = 2x2 + 1, f(f(x)) = x2(x2 − 2), g(g(x)) = 4x+ 3
9.b) f(g(x)) = 1− 3 cos(x), g(f(x)) = cos(1− 3x), f(f(x)) = −2 + 9x, g(g(x)) = cos(cos(x))
9.c) f(g(x)) = 6
√
1− x, g(f(x)) = 3
√
1−√x, f(f(x)) = 4√x, g(g(x)) = 3
√
1− 3
√
1− x
9.d) f(g(x)) = sen(2x)
1+sen(2x)
, g(f(x)) = sen
(
2x
1+x
)
, f(f(x)) = x
1+2x
, g(g(x)) = sen(2sen(2x))
10.a) f(x) = 10
√
x, g(x) = x2 + 1
10.b) f(x) = cos(x), g(x) =
√
x
10.c) f(x) = x
1+x
, g(x) =
√
x
10.d) f(x) = ex, g(x) =
√
x+ 2
10.e) f(x) = ln(x), g(x) = x
1+x
10.f) f(x) = 1
1+x
, g(x) = tan(x)
11.a) f−1(x) = 10−x
3
3
11.b) A função não é injetora, portanto não possui inversa.
11.c) f−1(x) = 1+3x
4−2y
11.d) f−1(x) = ex − 3
3
11.e) A função não é injetora, portanto não possui inversa.
11.f) f−1(x) = ln
(
x
1−2x
)
4