Matemática - Livro 3-268-270

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MATEMÁTICA Capítulo 13 Poliedros268
Resolução:
a)   De acordo com a gura, o galpão terá 5 m de altura 
na parte mais alta e 2 m de altura nas regiões pró-
ximas às suas paredes laterais
b) Como as bases do prisma são os pentágonos e a
altura de um prisma equivale à distância entre es
sas bases, de acordo com a gura, o prisma que dá 
forma ao galpão terá 10 m de altura.
Os prismas quadrangulares também são chamados de
hexaedros, por terem exatamente seis faces, e de parale-
lepípedos, quando todas essas faces são paralelogramos.
Os paralelogramos são os únicos tipos de prismas cujo
qualquer par de faces opostas pode ser considerado como
o par de bases do prisma
Quando houver, em um hexaedro, faces que não são
paralelogramos (sendo trapézios, por exemplo), estas de
verão ser consideradas bases do prisma.
Em prismas que possuem um número de faces dife
rente de seis, sempre há um par de faces opostas que não
possuem quatro lados, sendo, por exemplo, triangulares ou
hexagonais. Nesses casos, as faces não quadrangulares
devem ser consideradas bases do prisma.
Exercício resolvido
3 O hexaedro a seguir representa o formato de uma
piscina de mergulho com 8 m de largura por 12 m de
comprimento e profundidade variando de 1 m na parte
rasa a 6 m na parte funda.
12 m8 m
1 m
6 m
Sabendo que, uma vez cheia, a água dentro dessa
piscina assume o formato de um prisma reto, calcule o
perímetro da base desse prisma.
Resolução:
A base do prisma formado pela piscina é o trapézio
retângulo, representado pela gura a seguir:
12 m
x
1 m
5 m
Traçando uma reta paralela ao lado de 12 m, dividimos
o trapézio em duas guras: um retângulo de 1 m × 12 m
e um triângulo retângulo de catetos 12 m e 5 m.
Sendo x a medida da hipotenusa desse triângulo, do
teorema de Pitágoras, temos:
= +x 12 52 2 2, com x > 0, logo x = 13 m
Portanto, o perímetro da base do prisma mede:
1 + 12 + 6 + 13 = 32 m.
Inclinação e altura
Considere um prisma de bases ABCDE e A'B'C'D'E',
respectivamente contidas nos planos paralelos a e b.
A
E
D
CB
Base
α // β
α
�
h g
β
P
A’
E’
D’
C’B’
Base
Q
Os segmentos de reta AA', BB', CC', DD' e EE' são de-
nominados arestas laterais do prisma, uma vez que não
estão contidos nos planos de suas bases
Sobre as arestas laterais de um prisma, sabe-se que:
• Têm o mesmo comprimento:
AA' BB' CC' DD' EE'= = = =
• São paralelas:
AA' // BB' // CC' // DD' // EE'.
Por serem paralelas entre si, as arestas laterais de um
prisma formam ângulos de mesma medida com os planos
que contêm as bases dele. A medida q desses ângulos é
denominada inclinação do prisma

q = amed( AA')
O valor da inclinação de um prisma permite classificá-
lo em duas categorias distintas: prismas retos ou prismas
oblíquos.
Os prismas retos possuem 90° de inclinação, e os pris-
mas oblíquos não.
Tipo de prisma Inclinação
Prisma reto q = 90o
Prisma oblíquo q ≠ 90o
Assim, os prismas devem ser classificados conside-
rando o número de lados de suas bases e o valor de sua
inclinação.
F
R
E
N
T
E
 3
269
Um prisma hexagonal reto, por exemplo, possui he
xágonos como bases e inclinação de 90°
θ
Já um prisma pentagonal oblíquo possui pentágonos
como bases e inclinação diferente de 90°.
θ
A altura de um prisma tem medida h que coincide com
a distância entre os planos onde estão localizadas as bases
do prisma.
= a bh d( , )
Essa altura também pode ser calculada multiplicando
o comprimento de uma aresta lateral pelo seno do ângulo
de inclinação do prisma.
= ⋅ qh AA' sen ( )
Como o seno de 90° é unitário, as alturas dos prismas
retos coincidem com os comprimentos de suas arestas la
terais: h AA'= .
Exercícios resolvidos
4 Qual a altura de um prisma triangular oblíquo com 45°
de inclinação cujas arestas laterais medem 8 cm e os
lados da base medem 2 cm?
A 4 3 cm.
b 4 2 cm.
C 4 cm.
d 2 2 cm.
E 2 cm.
Resolução:
= ⋅ = ⋅ =h 8 sen 45 8
2
2
4 2 cm
o
Observação: o comprimento dos lados da base não
interfere no valor da altura do prisma.
Alternativa: b
5 As chamadas Puerta de Europa, também conhecidas
como Torres KIO, são duas torres inclinadas, uma con-
tra a outra, situadas na Praça de Castilla, em Madrid,
na Espanha Veja uma delas na foto a seguir
fo
to
V
o
y
a
g
e
r/
iS
to
c
k
p
h
o
to
.c
o
m
120 m
Sabe-se que as torres têm 15° de inclinação com a
vertical e que suas arestas laterais têm, aproximada-
mente, 120 m de comprimento. Então, usando sen 15° =
= 0,26 e cos 15° = 0,96, pode se concluir que as torres
têm uma altura aproximada de:
A 96 m.
b 102 m.
C 106 m.
d 110 m
E 115 m.
Resolução:
Como a inclinação de 15° é com a vertical, temos:
= ⋅ ≅ ⋅ =h 120 cos 15 120 0,96 115,2 mo
Alternativa: E
Planificações dos prismas
As planificações de um prisma são figuras geométricas
planas formadas pela justaposição de polígonos congruen-
tes às faces do prisma.
As figuras a seguir, formadas por três retângulos e dois
triângulos congruentes, são possíveis planificações de um
mesmo prisma triangular reto, por exemplo.
L
1
L
1
L
1
B
1 B
1
B
1
B
2
B
2
B
2
L
2
L
2 L
2
L
3
L
3 L
3
Planificações como essas permitem que todas as faces
do prisma sejam observadas simultaneamente para que
se compreendam melhor as relações entre as áreas da
superfície desse tipo de sólido.
MATEMÁTICA Capítulo 13 Poliedros270
Sendo Li = (L1, L2, L3, ) a sucessão das áreas das faces
laterais de um prisma e B1 e B2 as áreas das demais faces,
sobre a superfície desse prisma, temos que:
Área da base: B1 = B2
Área lateral: L L L L L
i
i
n
n
= + + + +
=
∑ 1 2 3
1
...
Área total: 2 Área da base Área lateral( ) ( )⋅ +
Exercícios resolvidos
6 Calcule, em metros quadrados, a área lateral de um
prisma reto com 20 cm de altura cuja base é o triângu-
lo retângulo ABC de catetos AB = 30 cm e AC = 40 cm.
A 2 600 m2.
b 2 400 m2.
C 26 m2.
d 24 m2.
E 0,24 m2.
Resolução:
Do teorema de Pitágoras, temos que o lado BC, que
é a hipotenusa da base ABC desse prisma triangular
reto, mede:
= + ⇒ = + ⇔
⇔ = ⇒ =
BC AB AC BC 30 40
BC 2500 com BC > 0 BC 50 cm
2 2 2 2 2 2
2
A
B
B’
A’ C’
C
Sendo A', B' e C' os vértices da outra base do prisma
de modo que as arestas laterais sejam AA' , BB' e
CC', como se trata de um prisma reto, sua altura tem o
mesmo comprimento dessas arestas laterais:
h = AA' = BB' = CC' = 20 cm
As faces laterais do prisma são:
• o retângulo ABB’A’ de área: = =AB h 30 20 600 cm2.
• o retângulo ACC’A’ de área: ⋅ = ⋅ =AC h 40 20 800 cm2.
• o retângulo BCC’B’ de área: BC h cm⋅ = ⋅ =50 20 1000 2.
Portanto, a área lateral do prisma mede:
600 + 800 + 1   000 = 2  400 cm
2.
Fazendo a conversão de unidades:
( )= ⋅ = ⋅ =− −2400 cm 2400 10 m 2400 10 m 0,24 m2 2
2
4 2 2
Alternativa: E
7 Calcule, em centímetros quadrados, a área total do
mesmo prisma da questão anterior
A 3 600 cm2.
b 2 400 cm2.
C 36 cm2.
d 24 cm2.
E 0,24 cm2.
Resolução:
As bases desse prisma são triângulos retângulos
cujos catetos medem 30 cm e 40 cm, portanto a área
de cada base é igual a
⋅
=
30 40
2
600 cm
2.
Como a área lateral do prisma é de 2 400 cm
2 e pris-
mas são dotados de duas bases congruentes, a área
total do sólido é igual a ⋅ + =2 600 2400 3600 cm2.
Alternativa: A
8 A base de um prisma reto é um pentágono regular com
1,2 m de lado. Se a altura desse sólido for de 80 cm,
então sua área lateral deverá medir:
A 4 800 m2.
b 480 m2.
C 48 m2
d 4,8 m2
E 0,48 m2.
Resolução:
O prisma descrito possui cinco faces laterais con-
gruentes em forma de retângulos com dimensões de
1,2 m por 80 cm Assim, a área lateral desse prisma,
em metros quadrados, é igual a: ⋅ ⋅ =5 1,2 0,8 4,8 m2
Alternativa: d
Volume do prisma
Para se obter o volume de um prisma, basta multiplicar a
área de uma das bases pelo comprimento da altura. Assim,
sendo B o valor da área da base de um prisma de altura h,
seu volume V é expresso por:
V B h= ⋅
A veracidade dessa expressão, para qualquer tipo de pris-
ma, pode ser comprovada pelo princípio de Cavalieri para
volumes.Considere um paralelepípedo retangular reto de
dimensões a, b e c, tais que o produto das medidas a e b,
por exemplo, seja equivalente à área da base de determinado
prisma (B = a · b) e que a medida c coincida com a altura desse
mesmo prisma (h = c). Nesse caso, do princípio de Cavalieri
para volumes, temos que o paralelepípedo e o prisma têm o
mesmo volume:
V a b c a b c B h( )= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅