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1 Modelagem de Sistemas Dinâmicos Modelagem de sistemas mecânicos Prof. Giancarlo Michelino Gaeta Lopes • Unidade de Ensino: 3 • Competência da Unidade: Compreender e aplicar a modelagem matemática aos sistemas mecânicos. • Resumo: Apresentação dos tipos de sistemas mecânicos e a suas respectivas funções de transferência, além da simulação desses sistemas. • Palavras-chave: Sistemas mecânicos translacionais; Sistemas mecânicos rotacionais; Servomotor CC. • Título da Teleaula: Modelagem de sistemas mecânicos • Teleaula nº: 3 Contextualização • Como modelar sistemas que estão relacionados com uma força mecânica? • Como escolher a melhor mola para a suspensão de um carro? • Os projetos dos carro são por tentativa e erro? https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/IAA_201 3_Bugatti_Veyron_-_Jean_Bugatti_%289834518393%29.jpg Modelagem matemática de sistemas mecânicos translacionais Segunda Lei de Newton • Conhecida como o Princípio Fundamental da Dinâmica. • A força resultante aplicada em um corpo de massa m produz uma aceleração com uma certa direção e sentido. ���� = � � � = � � ��� ��� CUTNELL (1996) Elemento Força-velocidade Força-deslocamento − � = � � � � = �� � � � = �� � � � � Sistemas mecânicos translacionais • Composto por: NISE (2013) 2 Elemento Força-velocidade Força-deslocamento � = � � � � � � = � � � � �� • Composto por: NISE (2013) Modelagem de sistema mecânico de 1ª ordem • Exemplo: obter a velocidadede um sistema pela força aplicada: • Em que: M é a massa do carro e B é o coeficiente de atrito; M �(�) � � �(�) �(�) Autoria própria https://cdn.pixabay.com/photo/2018/09/26/ 09/43/ca r-3704137_960_720.png • Modelando: �(�) − � � �(�) = � � ��(�) �� � �(�) − � � �(�) � � − � � �(�) = 0 • Colocando a velocidade em evidência: �(�) − �(�) � (� � � + �) = 0 �(�) = �(�) � (� � � + �) TAVARES (2017) • Obtendo a FT = �(�) �(�)� ��(�) = �(�) �(�) = 1 � � � + � • Rearranjando: �� � = �(�) �(�) = 1 �� � + � � TAVARES (2017) Modelagem de sistema mecânico de 2ª ordem • Obter o deslocamento de um sistema pela força aplicada: • Em que M é a massa do carro e b é o coeficiente de atrito e o k é o coeficiente da mola. M �(�) � � �(�) �(�) � � �̇(�) Autoria própriaKLUEVER (2018) • Modelando: � − � � �̇ − � � � = � � �̈ � − � � � � � − � � � − � � � � �� = 0 � − � � � � � + � + � � �� = 0 � = � � � � � + � + � � �� • Obtendo a FT: ��(�) = �(�) �(�) = 1 � � �� + � � � + � M �(�) � � �(�) �(�) � � �̇(�) Autoria própria 3 • Rearranjando: ��(�) = �(�) �(�) = 1 � � �� + � � � + � �(�) �(�) = 1 � �� + � � � � + � � M �(�) � � �(�) �(�) � � �̇(�) Autoria própria Modelagem matemática de sistemas mecânicos rotacionais Sistema mecânico rotacional • Descrito pela segunda lei de Newton, mas com movimentos rotacionais � � = � � � = � � �� �� = � � ��� ��� • Em que T é o torque, J é o momento de inércia, � é a aceleração angular, � é a velocidade angular e � é o deslocamento angular. Elemento Torque-vel. angular Torque-desl. angular − � = � � � � = � � � � = � � � � � Sistemas mecânicos rotacionais • Composto por: NISE (2013) Elemento Força-velocidade Força-deslocamento � = � � � � � � = � � � � �� • Composto por: NISE (2013) Exemplo de um sistema mecânico rotacional • Dado um sistema rotacional: Qual o torque em relação ao deslocamento angular? TAVARES (2017) TAVARES (2017) 4 • Modelando: � − � � � � �� − � � � � � − � � � = 0 • Colocando o deslocamento em evidência: � − � � (� � �� + � � � + �) = 0 � = � � (� � �� + � � � + �) • Obtendo a FT: ��(�) = �(�) �(�) = 1 � � �� + � � � + � TAVARES (2017) Analogia eletromecânica TAVARES (2017) Exemplo – Analogia elétrico/mecânico • Sistema mecânico: • Sistema elétrico: TAVARES (2017)TAVARES (2017) • Realizando a modelagem: TAVARES (2017) �(�) �(�) = 1 � � �� + � � � + � Comparando Sistemas rotacionais com engrenagens • Para que não haja deslizamento o sistema de engrenagens, é necessário que a distância percorrida em um determinado intervalo de tempo seja a mesma para as duas engrenagens; TAVARES (2017) • Realizando o equacionamento: TAVARES (2017) 5 Exemplo: Modelagem de um motor CC Sistema Eletromecânico – motor CC • Saída: Deslocamento angular �; • Entrada: Tensão de armadura ��; NISE (2013) https://cdn.pixabay.com/photo/2016/11/29/11/ 31/cybe rnetics-1869205_960_720.jpg • Resolvendo o circuito da armadura: �� − �� � �� − � � ��� �� − �� = 0 �� − �� � �� − � � �� � � − �� = 0 �� − (�� + � � �) � �� − �� = 0 • Força contraeletromotriz (no rotor): �� = ��� � �� �� �� = ��� � � � � NISE (2013) • Comportamento do motor: • Torque do Motor CC: • Substituindo: NISE (2013) NISE (2013) �� = � � (� � �� + � � �) �� �� = � � (� � � � + � � �) �� = �� � �� �� = �� �� • Utilizando as equações encontradas: • Admitindo que L é pequeno quando comparado a resistência, é possível simplificar a equação; �� − (�� + � � �) � �� − �� = 0 �� = � � (� � �� + � � �) �� �� = ��� � � � � �� − �� + � � � � � � � � + � � � � � �� − ��� � � � � = 0 �� = �� �� � � � � + � � � � � + ��� � � � � �� = �� �� � � � � + � + ��� � � � � � �� = 1 � � �� �� � � � � + � + ��� � �� = 1 � � �� �� � � � � + �� �� � + ��� 6 � �� = 1 � � �� �� � � � � + �� �� � + ��� � �� (� � ��) � �� (� � ��) � � �� = �� (� � ��) � � � � + 1 � � + �� � ��� �� � �� = 1 � � � + � Diagrama de blocos do motor CC • Usando as equações do modelo do motor, vamos montar o diagrama de blocos; • Analisar as equações do modelo para o circuito da armadura e para parte mecânica do motor; NISE (2013) • Para facilitar, vamos modelar o diagrama de blocos em função da velocidade angular �; • Da análise do circuito da armadura: �� − (�� + � � �) � �� − �� = 0 • A força contra eletromotriz: �� = ��� � �� �� = ��� � � �� = ��� � � • O torque do motor é dado por: NISE (2013) �� = �� ���� = �� � �� • Montando o diagrama de blocos completo do motor CC: KLUEVER (2018) Exemplo – Simulação de motor CC Especificações do motor para simulação: • Torque dos pratos: 30 N.m; • Resistência de armadura Ra: 2 Ω; • Indutância de armadura La: 0,01 H • Constantes K: K1 = K2 = 0,32; • Coeficiente de atrito: 10 Ns/m; • Torque para deslocamento: 20 N.m • Simulando o sistema e verificando diversos parâmetros de resposta; Autoria própria 7 Modelagem matemática de sistemas mecânicos com uso de software Sistemas mecânicos de 1ª ordem – Comparação • Sistema do carro (ou barco): �(�) �(�) = 1 � � � + � • Resposta da velocidade com um degrau aplicado, para massas diferentes. M �(�) � � �(�) �(�) Autoria própria Sistemas mecânicos de 2ª ordem – Comparação • Servomotor: � �� = 1 � � � + 1 � � + �� � ��� �� • Simulação em diagrama de blocos no XCOS; NISE (2013) Exemplo • Realizar a modelagem de um sistema que acumule os pratos em forma de uma pilha vertical; • O modelo do sistema apresenta uma mola, uma massa e um amortecedor, que representa o atrito do embolo com as laterais; TAVARES (2017) • Realizando a modelagem a partir das leis de Newton: � � − � � � − � � �̇ − � � �̈ = 0 � − � � � − � � � � � − � � � � �� = 0 � = � � � + � � � + � � �� • Obtendo a FT: ��(�) = �(�) �(�) = 1 � � �� + � � � + � TAVARES (2017) • Rearranjando: ��(�) = �(�) �(�) = 1 � � �� + � � � + � ��(�) = �(�) �(�) = 1 �� �� + � � � � + � � TAVARES (2017) 8 Recapitulando Recapitulando • Sistemas mecânicos translacionais: • Massa; • Mola; • Atrito viscoso; • Sistemas mecânicos rotacionais; • Servomotor CC; • Diagrama de blocos.
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