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Modelagem de Sistemas 
Dinâmicos
Modelagem de sistemas 
mecânicos
Prof. Giancarlo Michelino Gaeta Lopes
• Unidade de Ensino: 3
• Competência da Unidade: Compreender e aplicar a modelagem matemática aos 
sistemas mecânicos.
• Resumo: Apresentação dos tipos de sistemas mecânicos e a suas respectivas 
funções de transferência, além da simulação desses sistemas.
• Palavras-chave: Sistemas mecânicos translacionais; Sistemas mecânicos 
rotacionais; Servomotor CC.
• Título da Teleaula: Modelagem de sistemas mecânicos
• Teleaula nº: 3
Contextualização
• Como modelar sistemas que 
estão relacionados com uma 
força mecânica?
• Como escolher a melhor mola 
para a suspensão de um carro?
• Os projetos dos carro são por 
tentativa e erro?
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/IAA_201
3_Bugatti_Veyron_-_Jean_Bugatti_%289834518393%29.jpg
Modelagem 
matemática de 
sistemas mecânicos
translacionais
Segunda Lei de Newton
• Conhecida como o 
Princípio Fundamental 
da Dinâmica.
• A força resultante aplicada em um corpo de 
massa m produz uma aceleração com uma 
certa direção e sentido.
���� = � � � = � �
���
���
CUTNELL (1996)
Elemento Força-velocidade Força-deslocamento
− � = � � �
� = �� � � � = �� � � � �
Sistemas mecânicos translacionais
• Composto por:
NISE (2013)
Elemento Força-velocidade Força-deslocamento
� = � � � � � � = � � � � ��
• Composto por:
NISE (2013)
Modelagem de sistema mecânico de 1ª ordem
• Exemplo: obter a velocidade de um sistema 
pela força aplicada:
• Em que: M é a massa do carro e B é o 
coeficiente de atrito;
M
�(�) � � �(�)
�(�)
Autoria própria
https://cdn.pixabay.com/photo/2018/09/26/
09/43/car-3704137_960_720.png
• Modelando:
�(�) − � � �(�) = � �
��(�)
��
�
�(�) − � � �(�) � � − � � �(�) = 0
• Colocando a velocidade em evidência:
�(�) − �(�) � (� � � + �) = 0
�(�) = �(�) � (� � � + �)
TAVARES (2017)
• Obtendo a FT = �(�) �(�)�
��(�) =
�(�)
�(�)
=
1
� � � + �
• Rearranjando:
�� � =
�(�)
�(�)
=
1
��
� +
�
�
TAVARES (2017)
Modelagem de sistema mecânico de 2ª ordem
• Obter o deslocamento de um sistema pela força aplicada:
• Em que M é a massa do carro e b é o 
coeficiente de atrito e o k é o coeficiente da mola.
M
�(�)
� � �(�)
�(�)
� � �̇(�)
Autoria própriaKLUEVER (2018)
• Modelando:
� − � � �̇ − � � � = � � �̈
� − � � � � � − � � � − � � � � �� = 0
� − � � � � � + � + � � �� = 0
� = � � � � � + � + � � ��
• Obtendo a FT:
��(�) =
�(�)
�(�)
=
1
� � �� + � � � + �
M
�(�)
� � �(�)
�(�)
� � �̇(�)
Autoria própria
• Rearranjando:
��(�) =
�(�)
�(�)
=
1
� � �� + � � � + �
�(�)
�(�)
=
1
�
�� +
�
� � � +
�
�
M
�(�)
� � �(�)
�(�)
� � �̇(�)
Autoria própria
Modelagem 
matemática de 
sistemas mecânicos 
rotacionais
Sistema mecânico rotacional
• Descrito pela segunda lei de Newton, mas com 
movimentos rotacionais
� � = � � � = � �
��
��
= � �
���
���
• Em que T é o torque, J é o momento de inércia, 
� é a aceleração angular, � é a velocidade 
angular e � é o deslocamento angular.
Elemento Torque-vel. angular Torque-desl. angular
− � = � � �
� = � � � � = � � � � �
Sistemas mecânicos rotacionais
• Composto por:
NISE (2013)
Elemento Força-velocidade Força-deslocamento
� = � � � � � � = � � � � ��
• Composto por:
NISE (2013)
Exemplo de um sistema mecânico rotacional
• Dado um sistema rotacional:
Qual o torque em relação ao deslocamento
angular?
TAVARES (2017)
TAVARES (2017)
• Modelando:
� − � � � � �� − � � � � � − � � � = 0
• Colocando o deslocamento em evidência:
� − � � (� � �� + � � � + �) = 0
� = � � (� � �� + � � � + �)
• Obtendo a FT:
��(�) =
�(�)
�(�)
=
1
� � �� + � � � + �
TAVARES (2017)
Analogia eletromecânica
TAVARES (2017)
Exemplo – Analogia elétrico/mecânico
• Sistema mecânico:
• Sistema elétrico: 
TAVARES (2017)TAVARES (2017)
• Realizando a modelagem:
TAVARES (2017)
�(�)
�(�)
=
1
� � �� + � � � + �
Comparando
Sistemas rotacionais 
com engrenagens
• Para que não haja 
deslizamento o sistema de 
engrenagens, é necessário 
que a distância percorrida 
em um determinado 
intervalo de tempo seja a 
mesma para as duas 
engrenagens;
TAVARES (2017)
• Realizando o equacionamento:
TAVARES (2017)
Exemplo:
Modelagem de um 
motor CC
Sistema Eletromecânico – motor CC
• Saída: Deslocamento angular �;
• Entrada: Tensão de armadura ��;
NISE (2013)
https://cdn.pixabay.com/photo/2016/11/29/11/
31/cybernetics-1869205_960_720.jpg
• Resolvendo o circuito da armadura:
�� − �� � �� − � �
���
��
− �� = 0
�� − �� � �� − � � �� � � − �� = 0
�� − (�� + � � �) � �� − �� = 0
• Força contraeletromotriz (no rotor):
�� = ��� �
��
��
�� = ��� � � � �
NISE (2013)
• Comportamento do motor:
• Torque do Motor CC:
• Substituindo:
NISE (2013)
NISE (2013)
�� =
� � (� � �� + � � �) 
��
�� = � � (� � �
� + � � �)
�� = �� � ��
�� =
��
��
• Utilizando as equações encontradas:
• Admitindo que L é pequeno quando comparado 
a resistência, é possível simplificar a equação;
�� − (�� + � � �) � �� − �� = 0
�� =
� � (� � �� + � � �) 
��
�� = ��� � � � �
�� −
�� + � � � � � � �
� + � � � � �
��
− ��� � � � � = 0
�� =
��
��
� � � � + � � � � � + ��� � � � �
�� =
��
��
� � � � + � + ��� � � � �
�
��
=
1
� �
��
��
� � � � + � + ��� 
�
��
=
1
� �
��
��
� � � � +
��
��
� + ��� 
�
��
=
1
� �
��
��
� � � � +
��
��
� + ��� 
�
��
(� � ��)
�
��
(� � ��)
�
�
��
=
��
(� � ��)
�
� � � +
1
�
� +
�� � ���
��
 
�
��
=
1
� � � + � 
Diagrama de blocos do motor CC
• Usando as equações do modelo do 
motor, vamos montar o diagrama de 
blocos; 
• Analisar as equações do modelo para 
o circuito da armadura e para parte 
mecânica do motor;
NISE (2013)
• Para facilitar, vamos modelar o diagrama de 
blocos em função da velocidade angular �;
• Da análise do circuito da armadura:
�� − (�� + � � �) � �� − �� = 0
• A força contra eletromotriz:
�� = ��� �
��
��
= ��� � �
�� = ��� � �
• O torque do motor é dado por:
NISE (2013)
�� =
��
���� = �� � ��
• Montando o diagrama de blocos completo do 
motor CC:
KLUEVER (2018)
Exemplo – Simulação de motor CC
Especificações do motor para simulação:
• Torque dos pratos: 30 N.m;
• Resistência de armadura Ra: 2 Ω;
• Indutância de armadura La: 0,01 H
• Constantes K: K1 = K2 = 0,32;
• Coeficiente de atrito: 10 Ns/m;
• Torque para deslocamento: 20 N.m
• Simulando o sistema e verificando diversos parâmetros de resposta;
Autoria própria
Modelagem 
matemática de 
sistemas mecânicos 
com uso de software
Sistemas mecânicos de 1ª ordem – Comparação
• Sistema do carro (ou barco):
�(�)
�(�)
=
1
� � � + �
• Resposta da velocidade com um degrau 
aplicado, para massas diferentes.
M
�(�) � � �(�)
�(�)
Autoria própria
Sistemas mecânicos de 2ª ordem – Comparação
• Servomotor:
�
��
=
1
� � � +
1
� � +
�� � ���
��
 
• Simulação em diagrama de blocos no 
XCOS;
NISE (2013)
Exemplo
• Realizar a modelagem de um 
sistema que acumule os pratos 
em forma de uma pilha vertical;
• O modelo do sistema apresenta 
uma mola, uma massa e um 
amortecedor, que representa o 
atrito do embolo com as 
laterais;
TAVARES (2017)
• Realizando a modelagem a partir das leis de 
Newton:
� � − � � � − � � �̇ − � � �̈ = 0
� − � � � − � � � � � − � � � � �� = 0
� = � � � + � � � + � � ��
• Obtendo a FT:
��(�) =
�(�)
�(�)
=
1
� � �� + � � � + �
TAVARES (2017)
• Rearranjando:
��(�) =
�(�)
�(�)
=
1
� � �� + � � � + �
��(�) =
�(�)
�(�)
=
1
��
�� +
�
� � � +
�
�
TAVARES (2017)
Recapitulando
Recapitulando
• Sistemas mecânicos translacionais:
• Massa;
• Mola;
• Atrito viscoso;
• Sistemas mecânicos rotacionais;
• Servomotor CC;
• Diagrama de blocos.

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