C1 Lista Semanal 6 - 2022_4 (Com Gabarito)

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Questão 1. Determine a reta tangente à curva
y2 − 2y + x2
√
x2 + 1 = 0
quando (x, y) = (0, 2).
Solução: Observamos inicialmente que x = 0 implica y = 2 ou y = 0. A questão
pede para considerar (x, y) = (0, 2). De fato, teremos para x = 0
y2 − 2y + x2
√
x2 + 1 = 0 ⇒ y2 − 2y = 0 ⇒ y(y − 2) = 0 ⇒ y = 2 ou y = 0.
Podemos derivar implicitamente a equação em relação a x para obtermos
d
dx
(
y2 − 2y + x2
√
x2 + 1
)
=
d
dx
(0)
d
dx
(y2)− d
dx
(2y) +
d
dx
(x2
√
x2 + 1) = 0
2y
dy
dx
− 2dy
dx
+ 2x
√
x2 + 1 + x2
x√
x2 + 1
= 0.
Agora entrando com (x, y) = (0, 2) na equação acima, temos
2y
dy
dx
− 2dy
dx
+ 2x
√
x2 + 1 + x2
x√
x2 + 1
= 0
⇒ 2.2dy
dx
− 2dy
dx
+ 2.0
√
02 + 1 + 02
0√
02 + 1
= 0
⇒ 2dy
dx
= 0 ⇒ dy
dx
= 0.
Isso mostra que a equação da reta tangente à curva no ponto (x, y) = (0, 2) é y = 2.
Questão 2. Considere a função f(x) = x+ 1 + arctan(x) e a sua inversa g = g(y).
Calcule g′(y0) onde y0 = 1.
Solução: Calculamos inicialmente
f ′(x) = [x+ 1 + arctg(x)]′ = 1 +
1
1 + x2
Temos
g′(y0) =
1
f ′(g(y0))
onde temos x0 = g(y0), isto é, y0 = x0+1+arctan(x0) ⇒ 1 = x0+1+arctan(x0) ⇒
x0 + arctan(x0) = 0 de onde podemos concluir x0 = 0 é uma solução e assim
g′(y0) =
1
f ′(0)
=
1
1 +
1
1 + 02
= 1/2.
1
CÁLCULO I
2022 - 2º Semestre
Lista de Exercícios 6
Universidade Federal do Pará
Cálculo I Lista de Exercícios 6
Questão 3. Enche-se de água um reservatório, cuja forma é a de um cone circular
reto, a uma taxa de 0,1m3/s. A Figura 1 ilustra o formato do reservatório, cuja altura
é de 15m e o raio do topo é de 10m. Qual a taxa de variação do nível h da água está
subindo no instante em que h = 5.
Figura 1: Esboço do reservatório
Solução: Se V (t) representa o volume de água dentro do reservatório, temos V ′(t) =
0, 1m3/s. Podemos relacionar a altura h(t) do nível da água dentro do reservatório e
o raio r(t) do disco formado pela superfície de água dentro do reservatório por
r(t)
h(t)
=
10
15
=
2
3
⇒ r(t) = 2
3
h(t).
Agora podemos escrever
V (t) = h(t)
πr(t)2
3
⇒ V (t) = 4π
27
h(t)3
e derivando V (t) temos
V ′(t) =
4π
27
.3.h(t)2h′(t).
Agora no instante t0 tal que h(t0) = 5, temos
V ′(t0) =
4π
9
.h(t0)
2h′(t0)
⇒ 0,1 = 4π
9
52h′(t0)
h′(t0) =
9
1000π
≈ 0,003m/s.
Questão 4. Suponha que a probabilidade de sobrevivência Ps de um material que
passa por um ensaio de tração seja dada por
Ps(σ) = exp
(
−
(
σ
σ0
)10)
(onde exp(z) = ez)
onde σ0 é uma constante e σ > 0. Sabendo que Ps(σ0) = 1/e, estime por meio de
uma aproximação linear o valor de Ps(1,01σ0).
2
Cálculo I Lista de Exercícios 6
Solução: Já sabemos Ps(σ0) = 1/e. Temos
P ′s(σ) = −
10
σ0
(
σ
σ0
)9
exp
(
−
(
σ
σ0
)10)
.
de modo que
P ′s(σ0) = −
10
eσ0
.
Agora podemos aproximar o valor de Ps(1,01σ0) por
Ps(1,01σ0) ≈ Ps(σ0) + P ′s(σ0)(1,01σ0 − σ0)
Ps(1,01σ0) ≈
1
e
− 10
eσ0
.0,01σ0
Ps(1,01σ0) ≈
1
e
− 1
10e
=
9
10e
≈ 0,331.
Questão 5. Usando a regra de L’Hôspital, calcule os limites a seguir.
a) lim
x→0+
x3 ln(x) b) lim
x→+∞
ln(x) + ex
x+ ex
Solução: a) Podemos escrever
lim
x→0+
x3 ln(x) = lim
x→0+
ln(x)
1
x3
e usando a regra de L’Hospital teremos
lim
x→0+
ln(x)
1
x3
= lim
x→0+
[ln(x)]′[
1
x3
]′ = lim
x→0+
1
x
−3 1
x4
= lim
x→0+
−x
3
3
= 0.
b) Podemos aplicar duas vezes a regra da cadeia para obter
lim
x→+∞
ln(x) + ex
x+ ex
= lim
x→+∞
[ln(x) + ex]′
[x+ ex]′
= lim
x→+∞
1/x+ ex
1 + ex
= lim
x→+∞
−1/x2 + ex
ex
= lim
x→+∞
1 +
−1/x2
ex
= 1 + lim
x→+∞
−1
x2ex
= 1.
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