Tópicos de Física 1 - Parte 1-301-303

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299TÓPICO 3 | RESULTANTES TANGENCIAL E CENTRÍPETA
Como as componentes F &t e F &cp são perpendiculares entre si, podemos relacionar 
suas intensidades com a intensidade de F &, aplicando o Teorema de Pitágoras:
F2 5 F2t 1 F
2
cp
A componente centrípeta da força resultante, por ter a direção do raio de cur-
vatura da trajetória em cada ponto, é também denominada radial ou normal.
2. A componente tangencial (F &t)
Intensidade
Na figura seguinte, seja m a massa da partícula e a&t a aceleração produzida 
por F &t:
Aplicando a 2a Lei de Newton, podemos escrever que:
F &t 5 ma&t
Conforme sabemos, o módulo de a&t é igual ao módulo 
da aceleração escalar a:
|a&t| 5 |a|
Assim, a intensidade da componente tangencial da força 
resultante pode ser expressa por:
|F &t| 5 m|a|
Orienta•‹o
A direção de F &t é sempre a da tangente à trajetória em cada instante. Por isso, é a 
mesma da velocidade vetorial, que também é tangente à trajetória em cada instante.
O sentido de F &t, por sua vez, depende do fato de o movimento ser acelerado ou 
retardado. Veja as figuras abaixo: 
(n)
(t)
C
m
a
t
F
t
F
cp
F
COA
B m
ov
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mo
vim
ent
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ace
lera
do
F
t v
mo
vim
ent
o
reta
rda
do
Ft
v
 No caso de movimento acelerado, F &
t
 tem o mesmo sentido 
da velocidade vetorial v &. 
 Já no caso de movimento retardado, F&
t
 tem sentido 
contrário ao da velocidade vetorial v &.
Admitamos, por exemplo, o pêndulo da figura a seguir, cujo fio é fixo no ponto 
O. Supondo desprezível a influência do ar, a esfera pendular, abandonada no pon-
to A, entra em movimento, passa pelo ponto B, no qual sua velocidade tem inten-
sidade máxima, e vai parar no ponto C.
Entre os pontos A e B, o movimento é acelerado, 
o que significa que a componente tangencial da for-
ça resultante tem a mesma direção e o mesmo sen-
tido da velocidade vetorial.
Por outro lado, entre os pontos B e C, o movimen-
to é retardado, o que significa que a componente tan-
gencial da força resultante tem mesma direção, po-
rém, sentido oposto em relação à velocidade vetorial.
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300 UNIDADE 2 | DINÂMICA
Função
A componente tangencial da força resultante (F &t) tem por função variar a in-
tensidade da velocidade vetorial (v &) da partícula móvel.
Isso se explica com base no fato de F &t e v & terem mesma direção.
Nos movimentos variados (acelerados ou retardados), v & varia em intensidade 
e quem provoca essa variação é a componente F &t, que, nesses casos, é não nula.
Já nos movimentos uniformes, v & não varia em intensidade, isto é, o valor de v & 
é constante, o que implica, nessas situações, que a componente F &t é nula.
Consideremos, por exemplo, a figura ao lado, em que apa-
rece um jogador de futebol chutando uma bola, à qual ele im-
prime uma velocidade inicial oblíqua em relação ao gramado.
Desprezando os efeitos do ar, a bola fica sob a ação exclusiva 
do campo gravitacional, e, por isso, a força resultante que sobre 
ela atua ao longo de toda a trajetória parabólica é seu peso P&.
Entre A e C (ponto mais alto), o movimento é retardado, e a 
intensidade da velocidade vetorial da bola decresce. Quem res-
ponde por isso é a componente tangencial de P &, que, na subi-
da da bola, tem sentido oposto ao de v &.
Entre C e E, o movimento é acelerado, e a intensidade da 
velocidade vetorial da bola cresce. Quem responde por isso é 
também a componente tangencial de P &, que, na descida da 
bola, tem o mesmo sentido de v &.
A
B
C
D
E
P P
v
B
v
D
g
P
t
D
P
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B
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 I
m
a
g
e
sTrem-bala: mais veloz que um carro de Fórmula 1?
Os trens-bala utilizados na Europa e no Japão trafegam ao longo das fer-
rovias com velocidades que podem superar 500 km/h. Na fase de arrancada, 
que sucede à partida de uma estação, a força resultante sobre eles deve ad-
mitir uma componente tangencial no sentido do movimento, o que provoca o 
aumento da intensidade da velocidade vetorial.
O Brasil, por sua vez, propõe para um futuro próximo um sistema de trens-
-bala ligando os centros mais populosos do país, São Paulo e Rio de Janeiro, 
com conexões nos dois maiores aeroportos brasileiros, Cumbica e Galeão. O 
projeto, em desenvolvimento, almeja que a viagem entre São Paulo e Rio, de aproximadamente 518 km, 
seja feita em menos de duas horas, a uma velocidade escalar média superior a 250 km/h. O nascedouro 
dessa linha será construído na região de Campinas (SP). É importante observar que os trens-bala são 
propulsionados por energia elétrica e que os fatores que contribuem de forma importante para torná-los 
tão velozes são o traçado das trajetórias – bastante retilíneas, por utilizarem túneis, pontes e viadutos – e 
seu formato aerodinâmico, capaz de “cortar” o ar com facilidade.
JÁ PENSOU NISTO?
Considere a situação seguinte, referente aos exer-
cícios 1 a 5.
No esquema a seguir aparece, no ponto P, um 
carrinho de massa 2,0 kg, que percorre a trajetó-
ria indicada da esquerda para a direita. A acele-
ração escalar do carrinho é constante, e seu mó-
dulo vale 0,50 m/s2.
As setas enumeradas de I a V representam veto-
res que podem estar relacionados com a situação 
proposta.
I
II
III
IV
V
P
Nível 1Exercícios
 Trem de alta velocidade. 
Anthéor, França. Setembro 
de 2014.
B
a
n
c
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301TÓPICO 3 | RESULTANTES TANGENCIAL E CENTRÍPETA
 1. A velocidade vetorial do carrinho em P é mais bem 
representada pelo vetor:
a) I b) II c) III d) IV e) V
 2. Se o movimento for acelerado, a componente tan-
gencial da força resultante que age no carrinho 
em P será mais bem representada pelo vetor:
a) I b) II c) III d) IV e) V
 3. Se o movimento for retardado, a componente tan-
gencial da força resultante que age no carrinho 
em P será mais bem representada pelo vetor:
a) I b) II c) III d) IV e) V
 4. A intensidade da componente tangencial da força 
resultante que age no carrinho em P vale:
a) zero
b) 0,25 N
c) 0,50 N
d) 1,0 N
e) 2,0 N
 5. Analise as proposições seguintes:
 I. Ao longo da trajetória, a componente tangen-
cial da força resultante que age no carrinho 
tem intensidade variável.
 II. Ao longo da trajetória, a componente tangen-
cial da força resultante que age no carrinho é 
constante.
III. Ao longo da trajetória, a velocidade vetorial do 
carrinho tem intensidade variável.
IV. Quem provoca as variações do módulo da ve-
locidade do carrinho ao longo da trajetória é a 
componente tangencial da força resultante que 
age sobre ele.
Responda mediante o código:
a) Todas são corretas.
b) Todas são incorretas.
c) Somente I e II são corretas.
d) Somente III e IV são corretas.
e) Somente II, III e IV são corretas.
Exercícios Nível 2
Considere o enunciado abaixo para os exercícios 
6 a 8.
Abandona-se um pêndulo no ponto A, represen-
tado na figura. Este desce livremente e atinge o 
ponto E, após passar pelos pontos B, C e D. O 
ponto C é o mais baixo da trajetória e despreza-se 
a influência do ar.
 8. No ponto D, a componente da força resultante 
que age na esfera pendular, na direção tangen-
cial à trajetória, é mais bem caracterizada pelo 
vetor:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) Nenhum dos 
anteriores.
 9. Na figura a seguir, está representada uma par-
tícula de massa m em determinado instante de 
seu movimento curvilíneo. Nesse instante, a 
velocidade vetorial é v &, a aceleração escalar tem 
módulo a e apenas duas forças agem na partí-
cula: F &
1
 e F &
2
.
A
B
C
D
E
trajetória

F
1
F
2
v
 6. No ponto B, a componente da força resultante que 
agena esfera pendular, na direção tangencial à 
trajetória, é mais bem caracterizada pelo vetor:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) Nenhum dos 
anteriores.
 7. No ponto C, a componente da força resultante que 
age na esfera pendular, na direção tangencial à 
trajetória, é mais bem caracterizada pelo vetor:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) Nenhum dos 
anteriores.
No instante citado, é correto que:
a) o movimento é acelerado e F
1
 5 ma.
b) o movimento é retardado e F
1
 5 ma.
c) o movimento é acelerado e F
1
 1 F
2
 cos  5 ma.
d) o movimento é retardado e F
1
 1 F
2
 cos  5 ma.
e) o movimento é retardado e F
1
 1 F
2
 sen  5 ma.
B
a
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