C1 Lista Semanal 6 - 2023_2 (Com Gabarito)

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CÁLCULO I
2023 - 1º Semestre
Lista de Exercícios 6
Questão 1. Liste 20 funções (distintas) e suas derivada de sua escolha, desde que:
• 5 delas sejam polinomiais, todas de grau diferente.
• 5 delas sejam trigonométricas.
• 3 delas sejam de potência, todas de índice diferente.
• 2 delas sejam exponenciais, ambas de base diferente
• 2 delas sejam logarítmicas, ambas de base diferente.
• 3 delas sejam hiperbólicas.
Solução: Existem infinitas respostas. Exemplo:
1) a(x) = x2 + 1
2) b(x) = x3 + x
3) c(x) = x4 + 2
4) d(x) = x5 + x+ 1
5) e(x) = x6 + 9
6) f(x) = sen(x)
7) g(x) = cos(x)
8) h(x) = tg(x)
9) i(x) = cotg(x)
10) j(x) = sec(x)
11) k(x) = x
1
2
12) l(x) =
1
x
13) m(x) = x
1
3
14) n(x) = ex
15) o(x) = 2x
16) p(x) = log(x)
17) q(x) = ln(x)
18) r(x) = senh(x)
19) s(x) = cosh(x)
20) t(x) = cossech(x)
1) a′(x) = 2x
2) b′(x) = 3x2 + 1
3) c′(x) = 4x3
4) d′(x) = 5x4 + 1
5) e′(x) = 6x5
6) f ′(x) = cos(x)
7) g′(x) = − sen(x)
8) h′(x) = sec2(x)
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo I Lista de Exercícios 6
9) i′(x) = − cossec2(x)
10) j′(x) = sec(x) tg(x)
11) k′(x) =
1
2
√
x
12) l′(x) = − 1
x2
13) m′(x) =
1
3
3
√
x2
14) n′(x) = ex
15) o′(x) = 2x ln(2)
16) p′(x) =
1
x ln(10)
17) q′(x) =
1
x
18) r′(x) = cosh(x)
19) s′(x) = senh(x)
20) t′(x) = − cossech(x) cotgh(x)
Questão 2. Utilizando as regras de derivação:
a) Deduza a segunda Lei de Newton por meio do momento linear: p = mv.
b) Deduza a Lei de Hooke por meio da energia potencial elástica de uma mola que
obedece a Lei de Hooke: U =
kx2
2
.
c) Deduza a equação horária da velocidade por meio da equação horária da posição:
s(t) = s0 + v0t+
1
2
at2.
Solução:
a) A taxa de variação com o tempo do momento de uma partícula é igual à força
resultante que atua sobre a partícula e tem mesma orientação que a força resultante:
Fr = lim
∆t→0
∆p
∆t
Desse modo, basta derivar de ambos os lados a expressão p = m · v em relação ao
tempo t:
dp
dt
=
d
dt
(mv)
Sabe-se que m é massa da partícula, ou seja, m é uma constante, assim:
Fr = m
dv
dt
Sabe-se que a aceleração a = lim
∆t→0
∆v
∆t
, ou seja, a derivada da velocidade é igual a
aceleração. Logo:
Fr = ma
b) A derivada da energia U em relação ao deslocamento x é igual à força resultante
−F aplicada ao objeto, visto que F (x) = lim
∆x→0
−∆U
∆x
. Basta derivar a expressão
U =
kx2
2
em relação ao deslocamento x. Assim:
dU
dx
=
d
dx
(
kx2
2
)
2
Cálculo I Lista de Exercícios 6
Sabe-se que k é a constante elástica da mola, então:
−F (x) = k d
dx
(
x2
2
)
F (x) = −kx
c) A derivada do deslocamento s em relação ao tempo t é igual à velocidade v, visto
que v = lim
∆t→0
∆s
∆t
. Então, basta derivar a expressão s(t) = s0 + v0t + 12at
2 em
relação ao tempo t de ambos os lados.
d
dt
(s(t)) =
d
dt
(
s0 + v0t+
1
2
at2
)
Sabe-se que s0, v0 e a são constantes da equação horária da posição. Logo, após
derivar, chegamos na equação horária da velocidade:
v(t) = v0 + at
Questão 3. Encontre as seguintes derivadas usando as regras de derivação pro pro-
duto, quociente, soma e subtração.
a) f(x) = 5 sen(x) + ex + 2 tg(π).
b) f(x) =
x
1
2
4
√
2
.
c) f(x) =
ln(x)√
x
.
d) f(x) =
x2 · cos(x)
2x
.
Solução:
a) Veja que
d
dx
(5 sen(x)) = 5 cos(x),
d
dx
(ex) = ex e
d
dx
(2 tan(π)) = 0, daí
f ′(x) = 5 cos(x) + ex.
b) Note que
1
4
√
2
é uma constante que está multiplicando x
1
2 , assim
f ′(x) =
1
2 4
√
2x
1
2
.
c) Como
d
dx
(ln(x)) =
1
x
e
d
dx
(
√
x) =
1
2
x−
1
2 , usando a regra do quociente temos
f ′(x) =
x−1 · x 12 − 1
2
x−
1
2 · ln(x)
x
= x−
3
2 ·
(
1− 1
2
ln(x)
)
.
d) Inicialmente vamos aplicar a regra do produto no numerador. Sabendo que
d
dx
(x2) =
2x e
d
dx
(cos(x)) = − sen(x), então
d
dx
(x2 · cos(x)) = 2x · cos(x)− sen(x) · x2.
3
Cálculo I Lista de Exercícios 6
Agora, sabendo que
d
dx
(2x) = 2, vamos usar a regra do quociente.
f ′(x) =
(2x · cos(x)− sen(x) · x2) · 2x− 2 · x2 · cos(x)
4x2
=
2 · cos(x)− sen(x) · x− cos(x)
2
.
Questão 4. Utilizando a regra da cadeia, determine as derivadas das funções abaixo.
a) f(x) = ln(x2 − 2x+ 1).
b) f(x) =
x2 cos2(x)
x4
.
c) f(x) = ex2+4x−3.
d) f(x) = 23x−1 · 3x.
e) f(x) = cosh(xe)− 2x.
Solução:
a) Tomando u = x2 − 2x+ 1 e f(u) = ln(u), veja que
du
dx
= 2x− 2.
df
du
=
1
u
.
Assim
df
dx
=
df
du
· du
dx
=
2x− 2
x2 − 2x+ 1
.
b) Considerando u = cos(x), veja que temos u2, assim, usando a regra da cadeia
temos
du
dx
= − sen(x).
d
du
(u2) = 2u.
Logo
d
dx
(cos2(x)) =
d
du
(u2) · du
dx
= 2 · cos(x) · (− sen(x)) = − sen(2x).
Agora, veja que:
f(x) =
x2 cos2(x)
x4
=
cos2(x)
x2
.
Assim, usando a regra do quociente,
f ′(x) =
− sen(2x) · x2 − 2x · cos2(x)
x4
=
− sen(2x) · x− 2 · cos2(x)
x3
.
4
Cálculo I Lista de Exercícios 6
c) Tomando u = x2 + 4x− 3 temos
du
dx
= 2x+ 4.
d
du
(eu) = eu.
Portanto
df
dx
=
df
du
· du
dx
= ex
2+4x−3 · (2x+ 4).
d) Veja que 23x−1 = e(3x−1)·ln(2) e, assim, tomando u = ln(2) · (3x− 1), veja que
du
dx
= 3 ln(2).
d
du
(eu) = eu.
Assim
d
dx
(eu) =
(
d
du
(eu)
)
· du
dx
= e(3x−1)·ln(2) · 3 ln(2) = 3 ln(2) · 2(3x−1).
Por fim, precisamos aplicar a regra do produto.
f ′(x) = 3 ln(2) · 2(3x−1) · 3x+ 9 · 2(3x−1)
= 9 · 23x−1 · (ln(2) · x+ 1).
e) Sendo u = xe, então:
du
dx
= e · xe−1.
d
du
(cosh(u)) = senh(u).
Assim:
d
dx
(cosh(u)) =
d
du
(cosh(u)) · du
dx
= e · senh(xe) · xe−1.
Finalmente:
f ′(x) = e · senh(xe) · xe−1 − 2
Questão 5. Estude os sinais das derivadas das funções abaixo e encontre as retas
tangentes horizontais.
5
Cálculo I Lista de Exercícios 6
a) f(x) = x3 − 2x2 + x− 2.
b) f(x) = ex.
c) f(x) = (6x2 − 3x+ 2) 14 .
Solução:
a) Veja que f ′(x) = 3x2 − 4x+1 é uma função polinomial do segundo grau de raízes
x1 =
1
3
e x2 = 1, portanto f ′(x) é positiva nos intervalos
(
−∞, 1
3
)
e
(
1,+∞
)
e
negativa no intervalo
(
1
3
, 1
)
.
A reta tangente é horizontal quando seu coeficiente angular é zero, isto é, f ′(x) = 0.
Logo:
r1 :y = −
50
27
;
r2 :y = −2.
b) Sabemos que f ′(x) = ex. Logo, f ′(x) > 0∀x ∈ Df = R. Em particular, f ′(x) ̸= 0
em todo o domínio de f , e então a reta tangente ao gráfico nunca é horizontal.
c) Tome u = 6x2 − 3x+ 2 e f(u) = u 14 . Vamos ver a derivada de cada função antes
de aplicar a regra da cadeia.
du
dx
= 12x− 3.
df
du
=
1
4 · u 34
.
Portanto
df
dx
=
df
du
· du
dx
=
12x− 3
4 · (6x2 − 3x+ 2) 34
.
Verifica-se que f ′(x) = 0 se, e somente se, x = 1
4
. E que f ′(x) é negativa
no intervalo (−∞, 1
4
) e positiva no intervalo (1
4
,∞). Segue que a reta tangente
horizontal é:
r : y =
(
13
8
) 1
4
.
Questão extra:
Uma maneira importante de se definir e expressar funções reais é através das
chamadas série de pontências. Elas são somatórios infinitos de termos polinomiais,
podendo ser vistas como “polinômios de grau infinito”. Por exemplo:
f(x) =
+∞∑
n=0
xn
n!
= 1 + x+
x2
2
+
x3
6
+
x4
24
+ · · ·
Calcule as derivadas de f e de g(x) =
+∞∑
n=1
(x− 2)n
n
sabendo que esses somatórios,
apesar de serem infinitos, podem ser derivados termo a termo. A relação de f com
sua derivada te lembra alguma outra função conhecida?
6
Cálculo I Lista de Exercícios 6
Solução: A série é uma soma infinita de termos, e como a derivada da soma é a
soma das derivadas, basta derivar cada termo da série. Portanto, derivar a série é o
mesmo que derivar a própria lei de formação dessa série.
a)
df
dx
=
d
dx
( +∞∑
n=0
xn
n!
)
=
d
dx
(
1 +
+∞∑
n=1
xn
n!
)
= 0 +
d
dx
( +∞∑
n=1
xn
n!
)
=
+∞∑
n=1
d
dx
(
xn
n!
)
=
+∞∑
n=1
xn−1
(n− 1)!
=
+∞∑
k=0
xk
k!
= f(x) .
Note que a função exponencial F (x) também tem as propriedades F ′(x) = F (x)
e F (0) = 1. Será que f = F?
b)
dg
dx
=
d
dx
( +∞∑
n=1
(x− 2)n
n
)
=
+∞∑
n=1
d
dx
(
(x− 2)n
n
)
=
+∞∑
n=1
(x− 2)n−1
7