C2 Lista Semanal 15 - 2023_2 (Com Gabarito)

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CÁLCULO II
2023 - 1º Semestre
Lista de Exercícios 15
Questão 1. Calcule a integral tripla da função f(x, y, z) = 2y + z3 sobre o sólido
delimitado pelo paralelepípedo retângulo com vértices em (0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 3, 0) e
(0, 0, 1).
Solução:
Vamos calcular a integral tripla:∫ 2
0
∫ 3
0
∫ 1
0
(2y + z3) dz dy dx =
∫ 2
0
∫ 3
0
(
z4
4
+ 2yz
) ∣∣∣∣∣
1
0
dy dx
=
∫ 2
0
∫ 3
0
(
1
4
+ 2y
)
dy dx =
∫ 2
0
[y
4
+ y2
] ∣∣∣∣∣
3
0
dx
=
∫ 2
0
(
3
4
+ 9
)
dx =
[
3x
4
+ 9x
] ∣∣∣∣∣
2
0
=
3
2
+ 18 =
39
2
Portanto, a integral tripla da função f(x, y, z) = 2y + z3 sobre o sólido delimitado
pelo paralelepípedo retângulo é igual a 39
2
.
Questão 2. Calcule a integral tripla
∫∫∫
B
x sen y dV , onde:
B = {(x, y, z); 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π, x ≤ z ≤ 2x}.
Solução: ∫ ∫ ∫
B
x sen ydV =
∫ 1
0
∫ π
2
0
∫ 2x
x
x sen ydzdydx
=
∫ 1
0
∫ π
2
0
x sen yz
∣∣∣∣∣
2x
x
dydx
=
∫ 1
0
∫ π
2
0
2x2 sen y − x2 sen ydydx
=
∫ 1
0
∫ π
2
0
x2 sen ydydx
=
∫ 1
0
−x2 cos y
∣∣∣∣∣
π
2
0
dx
=
∫ 1
0
x2dx =
x3
3
∣∣∣∣∣
1
0
=
1
3
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo II Lista de Exercícios 14
Questão 3. Calcule a integral tripla da função f(x, y, z) = x2+y2+z2 sobre o sólido
delimitado pelo cilindro x2 + y2 = 4 e os planos z = 0 e z = 3.
Solução:
Vamos utilizar coordenadas cilíndricas para resolver essa integral tripla. As trans-
formações para coordenadas cilíndricas são:
x = r cos(θ), y = r sin(θ), z = z
O elemento diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é dado por:
dV = r dr dθ dz
Substituindo as transformações e o elemento diferencial de volume na integral
tripla, temos:
∫ 2π
0
∫ 2
0
∫ 3
0
(r2 cos2(θ) + r2 sin2(θ) + z2) r dz dr dθ =
∫ 3
0
∫ 2
0
∫ 2π
0
(r3 + z2r) dz dr dθ
=
∫ 3
0
∫ 2
0
(r3 + z2r)
∣∣∣∣∣
2π
0
dr dz
=
∫ 3
0
∫ 2
0
2π(r3 + z2r) dr dz
= 2π
∫ 3
0
[
r4
4
+
z2r2
2
] ∣∣∣∣∣
2
0
dz
= 2π
∫ 3
0
(4 + 2z2) dz
= 2π
[
4z +
2z3
3
] ∣∣∣∣∣
3
0
= 2π(12 + 18) = 60π.
Questão 4. Calcule a integral tripla
∫∫∫
C
dV , onde C é limitado pelo cilindro x2 +
y2 = 9 e pelos planos z = 0 e z = x.
Solução: Caso estejamos interessados em calcular o volume do sólido formado, basta
calcular a parte positiva do sólido (na seguinte integral) e multiplicar por 2.∫ ∫ ∫
C
dV =
∫ 3
−3
∫ √9−y2
0
∫ x
0
dzdxdy
=
∫ 3
−3
∫ √9−y2
0
z
∣∣∣∣∣
x
0
dxdy =
∫ 3
−3
∫ √9−y2
0
xdxdy
=
∫ 3
−3
x2
2
∣∣∣∣∣
√
9−y2
0
dy =
∫ 3
−3
9− y2
2
dy
=
∫ 3
0
9− y2dy =
(
9y − y
3
3
) ∣∣∣∣∣
3
0
= 27− 9 = 18.
2
Cálculo II Lista de Exercícios 14
Então o resultado será 36 u.V. Se formos apenas calcular a integral, teremos:∫ ∫ ∫
C
dV =
∫ 3
0
∫ 2π
0
∫ rcos(θ)
0
rdzdθdr
=
∫ 3
0
∫ 2π
0
zr
∣∣∣∣∣
rcos(θ)
0
dθdr =
∫ 3
0
∫ 2π
0
r2cos(θ)dθdr
=
∫ 3
0
r2sen(θ)
∣∣∣∣∣
2π
0
dr = 0.
Questão 5. Utilize coordenadas cilindricas para calcular a integral
∫∫∫
B
√
x2 + y2dV ,
onde B é a região limitada pelo cilindro x2 + y2 = 4 e entre os planos z = 2 e z = 3.
Solução: ∫ ∫ ∫
B
√
x2 + y2dV =
∫ 3
2
∫ 2π
0
∫ 2
0
ρ2dρdθdz
=
∫ 3
2
∫ 2π
0
ρ3
3
∣∣∣∣∣
2
0
dθdz =
∫ 3
2
∫ 2π
0
8
3
dθdz
=
∫ 3
2
8
3
θ
∣∣∣∣∣
2π
0
dz =
∫ 3
2
16π
3
dz
=
16π
3
z
∣∣∣∣∣
3
2
=
48π
3
− 32π
3
=
16π
3
.
3