Aula 11 - Matematica basica

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Profª Tathiana R. Cidral
Matemática 
básica
Aula 11
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Geometria
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Exercícios
(Enem) Uma associação desportiva contratou uma empresa especializada para
construir um campo de futebol, em formato retangular, com 250 metros de
perímetro. Foi elaborada uma planta para esse campo na escala 1 : 2 000.
Na planta, a medida do perímetro do campo de futebol, em metro, é
a) 0,0005.
b) 0,125.
c) 8.
d) 250.
e) 500 000.
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Exercícios
(Enem) Uma associação desportiva contratou uma empresa especializada para
construir um campo de futebol, em formato retangular, com 250 metros de
perímetro. Foi elaborada uma planta para esse campo na escala 1 : 2 000.
Na planta, a medida do perímetro do campo de futebol, em metro, é
a) 0,0005.
b) 0,125.
c) 8.
d) 250.
e) 500 000.
1 no papel → 2000 na realidade
x no papel → 250 na realidade
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Exercícios
(Enem) Uma associação desportiva contratou uma empresa especializada para
construir um campo de futebol, em formato retangular, com 250 metros de
perímetro. Foi elaborada uma planta para esse campo na escala 1 : 2 000.
Na planta, a medida do perímetro do campo de futebol, em metro, é
a) 0,0005.
b) 0,125.
c) 8.
d) 250.
e) 500 000.
1 no papel → 2000 na realidade
x no papel → 250 na realidade
x . 2000 = 1 . 250
2000 x = 250
x = 250/2000
x = 0,125
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Exercícios
(Enem) Uma associação desportiva contratou uma empresa especializada para
construir um campo de futebol, em formato retangular, com 250 metros de
perímetro. Foi elaborada uma planta para esse campo na escala 1 : 2 000.
Na planta, a medida do perímetro do campo de futebol, em metro, é
a) 0,0005.
b) 0,125.
c) 8.
d) 250.
e) 500 000.
1 no papel → 2000 na realidade
x no papel → 250 na realidade
x . 2000 = 1 . 250
2000 x = 250
x = 250/2000
x = 0,125
Alternativa correta é a letra b).
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GEOMETRIA PLANA
Estudo das formas sem volume
http://cantinhodedesenhos.blogspot.com/2012/06/desnhos-com-figuras-
geometricas.html
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CONCEITOS DA GEOMETRIA PLANA
I) Ponto
Forma geométrica sem definição exata, pois não possui dimensão (área e
cumprimento iguais a zero), ou seja, é identificado por “aquilo que não tem partes”.
É o elemento base para a formação de outras figuras e são representados por letras
minúsculas.
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II) Reta
Linhas infinitas que não possuem largura, formada por inúmeros pontos. Elas
podem ser horizontal, vertical ou diagonal e representadas por letras minúsculas do
alfabeto latino.
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Em relação aos pontos em comum, podem ser identificadas como:
❑ Paralelas: não possuem ponto em comum com outra reta;
❑ Concorrentes: se cruzam com outra reta por intermédio de um ponto em
comum.
❑ Retas coincidentes: são duas retas que ocupam a mesma posição, como se uma
estivesse em cima da outra.
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III) Semirretas
Retas que possuem ponto de início e fim. Isto é, são linhas com apenas um sentido e
direção, porém com origem definida.
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IV) Segmentos de retas
Retas divididas em dois pontos que possuem tamanhos definidos.
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Podem ser classificadas em quatro
seguimentos:
• Retas consecutivas: apresentam ponto
em comum;
• Retas colineares: dois ou mais pontos
diferentes dividem a mesma reta;
• Retas adjacentes: permitem pontos em
comum e a passagem de uma reta
exclusiva;
• Retas congruentes: segmentos de retas
com tamanhos iguais.
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V) Plano
Representado pela letra minúscula do alfabeto grego (alfa ou beta), o plano é a
estrutura composta por infinitos planos que pode seguir em todas as direções. Essa
superfície possui comprimento e largura, sendo a base para a formação das figuras
geométricas planas.
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VI) Ângulos (Â)
Junção de dois segmentos de reta, de acordo
com um ponto comum e os graus de abertura.
Podem ser classificados de cinco formas
distintas.
❑ Nulo (0°): semirretas saem na mesma
direção e se sobrepõem, não existindo
abertura;
❑ Agudo: a abertura alterna entre 0° e 90°;
❑ Reto: possui um ângulo de 90°;
❑ Obtuso: ângulo é maior que 90° e menor
que 180°;https://essaseoutras.com.br/tipos-de-angulos-nulo-
raso-reto-agudo-obtuso-e-como-identificar/
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❑ Raso: semirretas saem em direções distintas,
formando um ângulo de 180°;
❑ Complementares: soma dos ângulos é igual a 90°;
❑ Suplementares: soma dos ângulos é igual a 180°;
❑ Opostos pelo vértice: possuem a mesma medida,
mas se encontram em apenas um dos lados.
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VII) Área (S)
É todo o tamanho da superfície.
Representada nas ilustrações pela letra S, importante ressaltar que cada figura
geométrica pode ser calculada a partir de fórmulas matemáticas específicas.
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Perímetro (P)
Resultado da soma dos comprimentos, ou seja, a soma de todos os lados das formas
geométricas, sejam regulares ou não.
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Figuras Geométricas Planas
As figuras planas são superfícies fechadas por segmentos de retas (mínimo três
segmentos).
Todas as formas geométricas tidas como planas possuem fórmulas matemáticas
específicas para seu perímetro e área, já que elas não apresentam volume.
Classificadas em: polígonos e não polígonos.
❑ Polígonos: são segmentos de reta que possuem determinado número de lados.
❑ Não polígonos: são figuras que podem ser abertas ou fechadas.
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Triângulos
Polígonos que possuem três lados (a soma dos ângulos internos sempre será
180°). Eles são reconhecidos de acordo com a quantidade de lados ou pelos
ângulos.
❑ Triângulo equilátero: todos os lados e ângulos internos são iguais a 60°;
❑ Triângulo isósceles: apenas dois lados e dois ângulos internos são
congruentes (iguais);
❑ Triângulo escaleno: possui todos os lados e ângulos internos distintos.
Quanto aos ângulos:
❑ Triângulo retângulo: possui ângulo interno igual a 90° (reto);
❑ Triângulo obtusângulo: possui dois ângulos agudos, ou seja , menores que
90°;
❑ Triângulo acutângulo: possui três ângulos internos menores que 90°.
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https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/triangulo-equilatero
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/triangulo-isosceles
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/triangulo-escaleno
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/triangulo-retangulo
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Cálculo do perímetro de um triângulo: Ainda que existamdiversos tipos de triângulos, a fórmula para
encontrar o perímetro do triângulo é a mesma para todos eles:
Área de um triangulo retângulo (ângulo de 90°):
A = (b.h)/2.
Área de um triângulo equilátero (todos os lados iguais e ângulos internos igual a 60°):
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Quadrado
Polígono que dispõe de quatro lados iguais
Possui quatro ângulos retos ou congruentes (90°).
Cálculo da área e do perímetro:
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Retângulo
É todo paralelogramo que possui todos os seus ângulos retos (90°). Os lados
opostos (vertical e horizontal) são paralelos e de mesmo tamanho.
Cálculo da área e perímetro de um retângulo:
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Trapézio
É um quadrilátero notável, pois a soma dos ângulos internos chega a 360°.
Possui dois lados opostos e bases paralelas, uma maior que a outra.
Assim como os triângulos, possuem classificações distintas:
❑ Trapézio retângulo: aqueles que possuem dois ângulos de 90°, pois um
dos pontos da sua diagonal é perpendicular às bases;
❑ Trapézio isósceles: aqueles cujo os lados não paralelos possuem a
mesma dimensão;
❑ Trapézio escaleno: aqueles que têm todos os lados com tamanhos
diferentes.
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Cálculo do perímetro e área de um trapézio:
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Losango
Mais um tipo de quadrilátero, o losango é construído por quatro lados iguais. As
suas diagonais, que são paralelas, formam o ângulo de 90°.
O losango também pertence a classe dos paralelogramos, assim como os retângulos
Cálculo do perímetro e área de um losango:
Onde, 
D – medida da diagonal maior;
d – medida da diagonal menor; 
Diagonal: é um segmento de reta entre dois vértices não consecutivos do polígono
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Círculo ou circunferência 
É uma figura plana fechada por uma linha curva.
Seus principais componentes são o raio (r) e centro. 
O raio é o valor da distância entre o centro do círculo até o seu contorno.
O círculo tem a constante pi (aproximadamente 3,14) e o raio (R). 
Cálculo do perímetro e da área de um círculo:
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Exercícios
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(ENEM) Um vidraceiro precisa construir tampos de vidro com formatos diferentes, porém 
com medidas de áreas iguais. Para isso, pede a um amigo que o ajude a determinar uma 
fórmula para o cálculo do raio R de um tampo de vidro circular com área equivalente à de 
um tampo de vidro quadrado de lado L.
A fórmula correta é:
a) R = L/√π
b) R = L/√2π
c) R = L2/2π
d) R = √2L/π
e) 
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(ENEM) Um vidraceiro precisa construir tampos de vidro com formatos diferentes, porém 
com medidas de áreas iguais. Para isso, pede a um amigo que o ajude a determinar uma 
fórmula para o cálculo do raio R de um tampo de vidro circular com área equivalente à de 
um tampo de vidro quadrado de lado L.
A fórmula correta é:
a) R = L/√π
b) R = L/√2π
c) R = L2/2π
d) R = √2L/π
e) 
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(ENEM) Um vidraceiro precisa construir tampos de vidro com formatos diferentes, porém 
com medidas de áreas iguais. Para isso, pede a um amigo que o ajude a determinar uma 
fórmula para o cálculo do raio R de um tampo de vidro circular com área equivalente à de 
um tampo de vidro quadrado de lado L.
A fórmula correta é:
a) R = L/√π
b) R = L/√2π
c) R = L2/2π
d) R = √2L/π
e) 
Basta igualarmos essas áreas e isolarmos R:
π . R² = L²
R² = L² / π
R = L / √π
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(ENEM) Um vidraceiro precisa construir tampos de vidro com formatos diferentes, porém 
com medidas de áreas iguais. Para isso, pede a um amigo que o ajude a determinar uma 
fórmula para o cálculo do raio R de um tampo de vidro circular com área equivalente à de 
um tampo de vidro quadrado de lado L.
A fórmula correta é:
a) R = L/√π
b) R = L/√2π
c) R = L2/2π
d) R = √2L/π
e) 
Basta igualarmos essas áreas e isolarmos R:
π . R² = L²
R² = L² / π
R = L / √π
Alternativa correta é a letra a).