Lista 1 de exercícios Cálculo 3 Integrais duplas

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Lista 1 – Cálculo III 
 
 
Exercício 1: Calcule as integrais abaixo. 
 
a) ∫ ∫ 𝑥 + 𝑦 − 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥
2
 1/2
3
−1
 
b) ∫ ∫ 2𝑥2𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
3
 0
2
1
 
c) ∫ ∫ √5 − cos 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥
0
−2
𝜋/2
0
 
d) ∫ ∫
𝑥
 𝑦 
+
𝑦
 𝑥 
 𝑑𝑦 𝑑𝑥
2
1
4
1
 
e) ∫ ∫ sen (𝑦2)
1
𝑥
1
0
 𝑑𝑦 𝑑𝑥 
f ) ∫ ∫ 𝑒2𝑥−𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
 ln 5
0
ln 2
0
 
g) ∫ ∫ √𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
1
0
3
0
 
 
Exercício 2: Calcule as integrais duplas abaixo nas regiões R definidas em cada caso. 
 
i ) ∬
 𝑥𝑦2
𝑥2 + 1
𝑅
𝑑𝐴 , onde 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) | 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 e − 3 ≤ 𝑦 ≤ 3} 
ii ) ∬ 𝑥 sen(𝑥 + 𝑦)
𝑅
𝑑𝐴 , onde 𝑅 = [ 0, π/6] × [ 0, π/3] 
 
Exercício 3: Esboce a região de integração das integrais abaixo, reescreva cada uma 
mudando a ordem das variáveis de integração e calcule as integrais. 
a) ∫ ∫ 10
ln 𝑥
0
2
1
𝑑𝑦 𝑑𝑥 
 
b) ∫ ∫ 𝑒𝑥
2
3
3𝑦
1
0
𝑑𝑥 𝑑𝑦 
 
Exercício 4: Calcule o volume do sólido S em cada caso. 
a) S é o sólido limitado superiormente pelo plano z = 2x + 5y + 1 e abaixo pelo 
retângulo [– 1, 0] × [1, 4]. 
 
b) S é o sólido limitado inferiormente pelo plano z = – 4 + x + 2y e acima pelo 
retângulo [0, 1] × [0, 1]. 
 
c) S é o tetraedro limitado por quatro superfícies, cujas equações são as seguintes 
 𝑥 = 2𝑦, 𝑧 = 2 − 𝑥 − 2𝑦, 𝑥 = 0 𝑒 𝑧 = 0. 
d) S é o sólido limitado superiormente pelo parabolóide 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 e que está 
acima da região D do plano xy limitada por 𝑦 = 2𝑥 e 𝑦 = 𝑥2. 
e) S é o sólido que está no primeiro octante e é limitado pelas superfícies de equações 
𝑦 = 𝑧 e 𝑥2 + 𝑦2 = 1. 
 
Respostas: 
 
1) a) 3/2 b) 27 c) π √5 – 2 d) (21/2) ln 2 
e) 
1 − cos 1
2
 f ) 6 g) 
4
15
(31 − 9√3 ) 
2) i) 9 ln 2 ii) [(√3 – 1)/2] – π/12 
3) a) O esboço está abaixo 
 
∫ ∫ 10
ln 𝑥
0
2
1
𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ ∫ 10
2
𝑒𝑦
ln 2
0
𝑑𝑥 𝑑𝑦 = −10 + 20 ln 2 
 
b) O esboço está abaixo 
 
∫ ∫ 𝑒𝑥
2
3
3𝑦
1
0
𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ ∫ 𝑒𝑥
2
𝑥/3
0
3
0
𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
𝑒9 − 1
6
 
4) a) 37,5 b) 
5
 2 
 c) 
1
 3 
 d) 
 216 
35
 e) 
1
 3