AV2 - Calculo Vetorial e EDO

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Prova – AV2 
Disciplina: CALCULO VETORIAL E EDO 
Questão 1: Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação 
de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ... 
,y(n) é chamada uma equação diferencial de ordem n, ou seja, uma equação 
diferencial que contém a derivada n-ésima da variável dependente. 
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações não 
homogêneas, dada a solução particular para a equação não homogênea 
y = xex, é correto afirmar que a equação não homogênea que admite tal solução 
é: 
Resposta correta: y’’ – 3y’ + 4y = 2xex – ex. 
 
Questão 2: O conhecimento da natureza de um objeto matemático permite uma 
manipulação algébrica desse objeto de forma mais precisa. No caso dos campos 
gradientes, divergentes e rotacionais, o conhecimento acerca de suas naturezas 
é fundamental para manipulá-los entre si. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado acerca da natureza dos 
campos gradientes, divergentes e rotacionais, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Um campo gradiente é um campo vetorial. 
II. ( ) Um campo rotacional é um campo vetorial. 
III. ( ) Um campo divergente é um campo vetorial. 
IV. ( ) Um campo divergente em R³ é escrito na forma ∂A/∂x + ∂B/∂y + ∂C/∂z. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Resposta correta: V, V, F, V. 
 
Questão 3: “Uma forma simples de observar a homogeneidade de uma função 
polinomial é constatar que todos os monômios da função têm o mesmo grau e, 
no caso de uma função racional (quociente de polinômios), todos os membros 
do numerador têm um mesmo grau e todos os membros do denominador 
também possuem um mesmo grau. Uma EDO que está na forma normal y'=f(x,y) 
é homogênea se a função f=f(x,y) é homogênea de grau zero.” 
Fonte: UEL. Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira 
ordem. Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre 
equações homogêneas, dada a equação abaixo, determine se a mesma é 
homogênea e, em caso positivo, determinar seu grau. 
f(x, y) = x/2y + 4 
Assinale a alternativa correta a seguir. 
Resposta correta: Homogênea grau 0. 
 
Questão 4: A representação do domínio de uma função de duas dimensões 
pode ser feita de maneira matemática, escrevendo analiticamente o conjunto ou 
visualmente, hachurando o plano XY. A forma de determinar qual é o domínio é 
verificar se a função possui alguma proibição de valor, por exemplo, f(x)=1/x. 
Como não há divisão por zero na matemática, X não pode ser zero, sendo o seu 
domínio D={x ϵ R ┤|x≠0}. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre funções de duas 
variáveis, analise as afirmativas a seguir colocando V para a(s) verdadeira(s) e 
F para(s) falsa(s). 
I. ( ) O domínio da função f(x,y) =√(x+y)/(x-1) x é D = {(x, y) | x+y≥0 e x≠1}; 
II. ( ) O domínio da função f(x,y)=ln (y^2-x) é D = {(x, y) | x≥y²}; 
III. ( ) O domínio da função f(x,y) = x²-y² é D = R² (todo par ordenado real); 
IV. ( ) O domínio da função f(x,y)=1/√(4-x+y) é D = {(x,y) | x-y ≥4}. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
Resposta correta: V, F, V, F. 
 
Questão 5: Uma equação diferencial ordinária de primeiro grau pode ser muitas 
vezes simplesmente solucionada pelo método das variáveis separáveis, tal 
método, que é considerado a forma mais simples de se resolver uma equação 
diferencial, basicamente divide as variáveis independentes e dependentes com 
seus respectivos fatores de integração, permitindo a integração das 
variáveis. Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre 
variáveis separáveis, calcule a equação abaixo utilizando o método das variáveis 
separáveis: 
dy/dx = (1+e2x) 
Avalie as afirmativas a seguir e marque a que representa o resultado correto da 
integral. 
Resposta correta: O resultado da integral é x + ½ e2x + c 
 
Questão 6: O fator de integração é uma função na qual o produto da equação 
diferencial por tal função transforma o lado esquerdo da equação em uma 
derivada do produto de duas funções, a saber, y e o fator integrante. Essa função 
é utilizada na resolução de equações lineares. 
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações 
diferenciais lineares, para a equação diferencial dada abaixo, ache o fator de 
integração necessário para sua resolução: 
Dy/dx – 3y = 0 
Avalie as afirmativas abaixo e assinale a correta: 
Resposta correta: O fator de integração é e-3x 
 
Questão 7: As equações diferenciais lineares estão presentes em vários ramos 
da engenharia. Um modelo matemático é uma representação de um sistema 
físico que pode ser, por diversas vezes, expresso por uma equação diferencial 
linear. 
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações 
diferenciais lineares, dada a equação abaixo, encontre a solução geral utilizando 
o método de resolução de uma equação linear: 
dy/dx + xy/(x2 + 9) = 9 
Avalie as afirmativas abaixo e selecione o valor correto da solução. 
Resposta correta: O valor de y é igual a = c / (x2 + 9)^1/2 
 
 
Questão 8: Uma equação não homogênea é aquela em que a função g(t) na 
equação: 
y” + p(t)y’ + q(t)y = g(t) não é nula. Qualquer função denominada yp, que satisfaça 
a equação acima é tida como uma solução particular da equação não 
homogênea. 
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações não 
homogêneas, dada a equação y” + 9y = 27, é correto afirmar que a solução 
particular que admite a equação é: 
Resposta correta: yp = 3. 
 
Questão 9: Ao estudar funções reais de várias variáveis reais, observa-se que 
as relações funcionais, ou seja, as relações que associam conjuntos, alteram-se 
conforme aumentam o número de variáveis. Em uma função real de uma 
variável, a relação é feita tendo como base duas retas reais, por exemplo, mas 
isso não se mantém para as outras relações funcionais. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre relações 
funcionais de duas ou mais variáveis, analise as afirmativas a seguir. 
I. O domínio de uma função de duas variáveis é subconjunto de R³. 
II. O contradomínio de uma função real de três variáveis é subconjunto de R. 
III. O contradomínio de uma função real de cinco variáveis é subconjunto de R. 
IV. O domínio de uma função de três variáveis é subconjunto de R³. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Resposta correta: II, III e IV. 
 
 
Questão 10: Suponha que um corpo de m está caindo em um fluido no qual a 
resistência em kgf seja proporcional ao quadrado da velocidade em m/s. Se a 
velocidade máxima limite é 50m/s, determine a velocidade após 2s, com o corpo 
partindo do repouso: 
Dica: m.dv/dt = mg – Kv2. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equações 
diferenciais e problema de valor inicial, assinale a alternativa que corresponde à 
velocidade após 2s: 
 
Resposta correta: 21,4 m/s.