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1. Quais são as componentes do vetor v

com origem no ponto A(5, 7, -1) e final
no ponto B(3, 11, 21)?
Resolução:
v  AB

A B v  

v  (3, 11, 21)  (5, 7, 1)

v  (3  5, 11 7, 21 (1))

) 22 , 4 , 2(v

2. Obtenha o vetor v

com origem no ponto A(-3, 2) e final no ponto B(4, -1).
Resolução:
AB v 

v  B  A

v  (4, 1)  (3, 2)

v  (4  (3), 1 2)

v  (7, 3)

3. Obtenha a distância entre o ponto P(0, 9, 2) e o ponto Q(5, 0, 7).
Resolução:
2 2 2
( , ) ( ) ( ) ( ) P Q Q P Q P Q P d  x  x  y  y  z  z
2 2 2
( , )  (5  0)  (0  9)  (7  2) P Q d
2 2 2
( , )  5  (9)  5 P Q d
25 81 25 ( , )    P Q d
131 ( , )  P Q d
11,45 ( , )  P Q d
4. O baricentro, encontro das medianas das arestas do triângulo, é um elemento
bastante importante cujas coordenadas correspondem à média das coordenadas
dos vértices do triângulo. Sabendo que T é o triângulo com vértices nos pontos
A(5, 5), B(10, 7) e C(12, 11), calcule o baricentro G do triângulo T.
Resolução:





    

3
,
3
A B C A B C x x x y y y
G



    

3
5 7 11
,
3
5 10 12
G







3
23
,
3
27
G
  ,677 ; 9G
5. Qual é o módulo do vetor ) 8 , 9( v

indicado na figura a seguir?
Resolução:
2 2 | v | x  y

2 2 | v | 9  (8)

| v | 81 64

| v | 145

04, 12| | v

6. Qual é a inclinação do vetor ) 8 , 9( v

indicado na figura a seguir?
Resolução:
x
y
tg( ) 
9
8
) ( tg
tg( )  0,888888889
  arc tg0,888888889
  63, 41 
     360
  360  41,63
  37, 318 
7. Considere o vetor v

que tem módulo igual a 10 e inclinação igual a 35°. Quais
são as componentes xv e yv deste vetor?
Resolução:
| |
cos( )
v
xv   
10
cos(35 ) v x
 
10
0,819152 v x

0,819152
10
 v x
 0,819152 . 10 v x
 8,19 v x
| |
) ( sen
v
yv   
10
) 35( sen v y
 
10
0,573576 v y

0,573576
10
 v y
 0,573576 . 10 v y
74, 5  v y
) 74, 5 ; 19, 8( v

8. Um muro está escorado por uma viga inclinada conforme a figura a seguir.
Qual é a inclinação da viga?
Resolução:
x
y
) ( tg
8, 1
7, 2
) ( tg
5, 1) ( tg
,51 tgarc 
  31, 56 
9. Qual é a inclinação  do telhado, em relação à horizontal, cuja vista frontal é
representada na figura a seguir?
Resolução:
x
y
tg( ) 
3
2
tg( ) 
tg( )  0,666666667
  arc tg 0,666666667
  33,69
10. Em um determinado jogo 3D, a posição de um jogador está associada ao
ponto J1 de coordenadas (180, 210, 315). O jogador adversário está no ponto J2
de coordenadas (92, 200, 301).
Sabendo que as unidades estão em metros, qual é a distância entre estes dois
jogadores?
Resolução:
2 2 2
( , ) ( ) ( ) ( )
J1 J2 J2 J1 J2 J1 J2 J1 d  x  x  y  y  z  z
2 2 2
( , ) (92 180) (200 210) (301 315)
1 2
      J J d
2 2 2
( , ) ( 88) ( 10) ( 14)
1 2
      J J d
7744 100 196 ( 1 , 2 )
   J J d
8040 ( 1 , 2 )
 J J d
66, 89 ( 1, 2 )
 J J d
11. Um ponto pertencente a um espaço bidimensional pode ser localizado por
meio de coordenadas cartesianas. Também pode ser determinado pela distância
d do ponto até a origem do sistema de eixos coordenados e pelo ângulo  que o
segmento que vai da origem ao ponto forma com o eixo x. A este sistema é dado
o nome de sistema de coordenadas polares. Considere o ponto A de
coordenadas cartesianas (8, 5). Obtenha as coordenadas polares (d, ) de A.
Resolução:
2 2 y x d
2 2 5 8   d
d  64  25
89  d
d  9,43
x
y
tg( ) 
8
5
tg( ) 
tg( )  0,625
  arc tg 0,625
  32,01
A(9,43; 32,01)