Assunto 4 ENIAC Equações Diferenciais

Prévia do material em texto

Equações diferenciais de segunda ordem
APRESENTAÇÃO
Você já deve ter percebido que a matemática tem aplicações nas mais variadas áreas de estudo. 
Esta unidade tem como propósito ampliar seus conhecimentos no estudo das equações 
diferenciais de segunda ordem. Essas equações são muito utilizadas em investigações na área da 
física-matemática e no estudo de mecânica de fluidos, condução de calor, movimento 
ondulatório ou fenômenos eletromagnéticos, por exemplo.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai ser convidado a pensar em soluções gerais de 
equações diferenciais lineares de ordem superior, partindo de problemas de valor inicial e de 
contorno. Você vai conhecer as definições e poder analisar exemplos resolvidos de maneira 
detalhada. Além disso, vai compreender a diferença entre equações homogêneas e não 
homogêneas. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir problemas de valor inicial e de contorno para equações diferenciais de segunda 
ordem.
•
Diferenciar equações homogêneas e não homogêneas.•
Solucionar problemas envolvendo equações diferenciais de segunda ordem.•
DESAFIO
As equações diferenciais ordinárias de segunda ordem podem ser utilizadas para resolver 
problemas envolvendo, por exemplo, o movimento de determinado sistema mola-massa. 
Sabendo dessa possibilidade de aplicação em problemas associados a processos físicos, como 
campos de vibrações mecânicas e elétricas, imagine a seguinte situação:
 
Nesse contexto, sua tarefa é determinar a posição da massa em qualquer instante. Encontre a 
quase frequência e o quase período, assim como o instante em que a massa passa pela primeira 
vez pela sua posição de equilíbrio, justificando como você chegou a esses resultados.
INFOGRÁFICO
As equações lineares de segunda ordem servem como modelos matemáticos de alguns processos 
físicos. Duas áreas importantes de aplicação de equações lineares de segunda ordem são os 
campos de vibrações mecânicas e elétricas.
Veja no Infográfico um exemplo do movimento de uma massa presa a uma mola que mostra a 
aplicação de EDO de segunda ordem.
CONTEÚDO DO LIVRO
O capítulo Equações diferenciais de segunda ordem, da obra Cálculo III, aborda soluções gerais 
de equações diferenciais de ordem superior e problemas de valor inicial. Você vai conhecer os 
conceitos, as definições e os teoremas sempre acompanhados de exemplos e figuras para 
facilitar a compreensão. Além disso, você vai aprender a diferenciar as equações diferenciais 
homogêneas e não homogêneas. Por fim, vai analisar a solução de problemas envolvendo o 
conteúdo em estudo.
Boa leitura.
CALCULO III 
Cristiane da Silva
Equações diferenciais 
de 2ª ordem
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir problemas de valor inicial e de contorno para equações dife-
renciais de 2ª ordem.
 � Diferenciar equações homogêneas e não homogêneas.
 � Solucionar problemas envolvendo equações diferenciais de 2ª ordem.
Introdução
Sabemos que a matemática tem aplicações nas mais variadas áreas de 
estudo. O objetivo deste capítulo é ampliar os seus conhecimentos no 
que diz respeito ao estudo das equações diferenciais de 2ª ordem, parte 
integrante da disciplina de Cálculo III.
Neste texto, você será convidado a pensar em soluções gerais de 
equações diferenciais lineares de ordem superior. Trataremos de pro-
blemas de valor inicial e de contorno, e você conhecerá as definições e 
poderá analisar exemplos resolvidos de maneira detalhada. Esperamos 
que você compreenda as exigências e condições de alguns teoremas na 
resolução de uma equação diferencial linear de 2ª ordem. Além disso, você 
identificará a diferença entre equações homogêneas e não homogêneas.
Equações diferenciais de 2ª ordem 
As equações diferenciais de segunda ordem são muito utilizadas em inves-
tigações nas áreas da física e da matemática, como nos estudos de mecânica 
de fluidos, condução de calor, movimento ondulatório ou fenômenos eletro-
magnéticos, por exemplo. Vamos, então, conhecer uma equação diferencial 
de 2ª ordem, as suas formas e resoluções.
Boyce e DiPrima (2015) explicam que uma equação diferencial de 2ª 
ordem tem a forma:
Em que f é uma função dada. Chamaremos a variável independente de 
t, já que o tempo é, com frequência, a variável independente em fenômenos 
físicos, mas algumas vezes utilizaremos x no seu lugar. Utilizaremos y ou outra 
letra para representar a variável dependente. A equação é dita 
linear se a função f tem a forma — g, p e q são 
funções especificadas da variável independente t, mas não dependem de y. 
Portanto, será linear se f é linear em y e em (BOYCE; DIPRIMA, 2015).
Podemos reescrever a equação diferencial de 2ª ordem como y’’ + p (t) 
y’ + q (t) y = g (t). Ou, ainda, P (t) y’’ + Q (t) y’ + R (t) y = G (t). Se P (t) ≠ 0, 
podemos dividir a equação por P (t), obtendo:
, , 
Boyce e DiPrima (2015) enfatizam que a equação característica, ar² + br 
+ c = 0, é uma equação de segundo grau com coeficientes reais, portanto ela 
tem duas raízes que podem ser reais e distintas, reais e iguais, ou complexas 
conjugadas. Vejamos cada um desses casos nos exemplos a seguir. 
Raízes reais e distintas
Supondo que as raízes da equação característica ar² + br + c = 0 são reais e 
distintas, vamos denotá-las por e , em que . Então 
e são duas soluções da equação ay’’ + by’ + cy = 0. Segue que:
também é solução da equação ay’’ + by’ + cy = 0. Para verificar, podemos 
diferenciar a expressão na equação . 
Portanto,
 e 
Equações diferenciais de 2ª ordem2
Substituindo y, y’ e y’’ na equação ay’’ + by’ + cy = 0 por essas expressões 
e organizando os termos:
As quantidades entre parênteses à direita do sinal de igualdade são nulas, 
pois e são raízes da equação ar² + br + c = 0. Logo y, dado pela equação 
 é, de fato, solução da equação ay’’ 
+ by’ + cy = 0.
Raízes complexas e conjugadas
Vamos continuar a discussão agora com as raízes complexas da equação 
característica. Seguiremos com a equação ay’’ + by’ + cy = 0, em que a, b e 
c são números reais dados. Já vimos que, se procurarmos soluções da forma 
, então r tem que ser raiz da equação característica ar² + br + c = 0. 
Vimos que, se as raízes e forem reais e distintas, o que ocorre sempre 
que o discriminante b² − 4ac for positivo, então a solução geral da equação 
ay’’ + by’ + cy = 0 será . Suponha agora que, b² − 4ac é 
negativo. Então as raízes da equação ar² + br + c = 0 são números complexos 
conjugados, e vamos denotá-los por:
em que λ e μ são reais. As expressões correspondentes para y são:
, 
Vamos explorar o significado dessas expressões, o que envolve o cálculo de 
uma função exponencial com expoente complexo. Por exemplo, se λ = −1, μ = 2 
e t = 3, então, da equação , , 
. Vejamos agora a fórmula de Euler que explica o que significa 
elevar o número e a uma potência complexa.
Usando a fórmula de Euler é possível mostrar que .
Raízes reais e iguais
Vimos até aqui como resolver a equação ay’’ + by’ + cy = 0 quando as raízes 
da equação característica ar² + br + c = 0 são reais e distintas ou complexas 
conjugadas. 
3Equações diferenciais de 2ª ordem
Vamos considerar agora a terceira possibilidade, quando as duas raízes 
e são iguais. Esse caso faz a transição entre os outros dois e ocorre quando 
o discriminante b² − 4ac é zero. Segue da fórmula para a equação do 2º grau 
que . A dificuldade é imediatamente aparente: ambas as raízes 
geram a mesma solução da equação diferencial ay’’ + by’ + cy = 
0, e não é nada óbvio como encontrar uma segunda solução.
A equação é a solução geral da equação ay’’ + by’ + cy 
= 0 quando as raízes da equação característica são iguais. Em outras palavras, 
nesse caso existe uma solução exponencial correspondente à raiz repetida, 
enquanto uma segunda solução é obtida multiplicando a solução exponencial 
por t (BOYCE; DIPRIMA, 2015, p. 118–140).
Vejamosalguns exemplos de resolução de equações diferenciais de segunda 
ordem.
Exemplo 1.
Encontre a solução geral de y’’ + 5y’ + 6y = 0.
Resolução.
Supondo que , segue que r tem que ser raiz da equação característica r² 
+ 5r + 6 = (r + 2)(r + 3) = 0.
Assim, os valores possíveis de r são e ; a solução geral da equação 
y’’ + 5y’ + 6y = 0 é . 
Exemplo 2.
Encontre a solução do problema de valor inicial y’’ + 5y’ + 6y = 0 y (0) = 2, y’ (0) = 3.
Resolução.
A solução geral da equação diferencial é dada pela equação ; 
assim, e têm que satisfazer . Para usar a segunda condição inicial, 
primeiro precisamos diferenciar a equação . Isso nos dá 
. Fazendo agora, t = 0 e y’ = 3, obtemos . 
Resolvendo, vemos que e . Usando esses valores em 
, obtemos a solução do problema de 
valor inicial y’’ + 5y’ + 6y = 0, y (0) = 2, y’ (0) = 3.
Veja a Figura 1, que mostra o gráfico da solução.
Equações diferenciais de 2ª ordem4
Figura 1. Gráfico que mostra a solução do problema.
Fonte: Boyce e DiPrima (2015).
Exemplo 3.
Ache uma solução para o problema de valor inicial y’’ + 4y’ + 4y = 0 y (0) = 1, y’ (0) = 3.
Resolução.
A equação auxiliar é r² + 4r + 4 = (r + 2)² = 0.
Como r = –2 é uma dupla raiz, a regra diz que y’’ + 4y’ + 4y = 0 y (0) = 1, y’ (0) = 3 
tem soluções e . Vamos confirmar que é uma solução:
Observe, ainda, que e são linearmente independentes, pois nenhuma 
delas é um múltiplo constante da outra em . Por fim, inserimos a solução 
geral nas condições iniciais,
 
e resolvemos para encontrar , . Assim, é a 
solução desejada.
Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012, p. 119-120).
5Equações diferenciais de 2ª ordem
Equações diferenciais homogêneas versus 
Equações diferenciais não homogêneas
Nagle, Saff e Snider (2012, p. 115) aborda o estudo da equação diferencial 
linear de 2ª ordem com coeficientes constantes ay’’ + by’ + cy = f(t) (a ≠ 0) 
como o caso especial onde a função f(t) é zero: ay’’ + by’ + cy = 0. A equação 
ay’’ + by’ + cy = 0 é chamada de forma homogênea da equação ay’’ + by’ + 
cy; f(t) é a não homogeneidade em ay’’ + by’ + cy. A equação ay’’ + by’ + cy 
= 0 diz que uma solução deve ter a propriedade de que sua segunda derivada 
é exprimível como uma combinação linear de suas primeiras e zerésima de-
rivadas (a zerésima derivada de uma função é a própria função). Isso sugere 
que tentemos encontrar uma solução na forma pois as derivadas de 
 são apenas constantes vezes . Se substituirmos em ay’’ + by’ 
+ cy = 0, teremos . Como 
 nunca é zero, podemos dividir por ele para obter ar² + br + c = 0. Por 
consequência, é uma solução para ay’’ + by’ + cy = 0 se, e somente se, 
r satisfizer a equação ar² + br + c = 0. Essa é chamada de equação auxiliar, 
também conhecida como equação característica.
Zill (2013, p. 126-127) define equações homogêneas da seguinte forma:
Uma equação diferencial linear de ordem n da forma
 é chamada de homogênea, 
enquanto uma equação , 
com g(x) não identicamente zero, é chamada de não homogênea. Por exem-
plo, 2y’’ + 3y’ – 5y = 0 é uma equação diferencial linear de segunda ordem 
homogênea, enquanto é uma equação diferencial 
linear de terceira ordem não homogênea. A palavra homogênea nesse contexto 
não se refere a coeficientes que sejam funções homogêneas.
Vejamos alguns teoremas e definições importantes no estudo das equações 
diferenciais lineares homogêneas com base em Zill (2013, p. 127-130).
Teorema: princípio da superposição — 
equações homogêneas
Esse teorema afirma que a soma ou superposição de duas ou mais soluções de 
uma equação diferencial linear homogênea é também uma solução. 
Sejam soluções da equação diferencial homogênea de ordem n 
em um intervalo I. Então, a combinação linear , 
Equações diferenciais de 2ª ordem6
onde são constantes arbitrárias, é também uma solução 
no intervalo.
Definição: dependência/independência linear
Um conjunto de funções será chamado de linearmente 
dependente em um intervalo I se houver constantes , não todas 
nulas, de forma que para todo x no inter-
valo. Se o conjunto de funções não for linearmente dependente no intervalo, 
será chamado de linearmente independente.
Definição: wronskiano
Nosso interesse está em soluções linearmente independentes de uma equação 
diferencial linear. A questão de se o conjunto de n soluções de 
uma equação diferencial linear homogênea de ordem n é linearmente inde-
pendente pode ser resolvida de uma forma mais ou menos mecânica usando 
um determinante.
Suponha que cada uma das funções tenha pelo menos 
n – 1 derivadas. O determinante:
onde as linhas denotam derivadas, é chamado de wronskiano das funções.
Teorema: critério para independência linear
Sejam soluções da equação diferencial linear homogênea de 
ordem n em um intervalo I. Então, o conjunto de soluções será linearmente in-
dependente em I se, e somente se, para todo x no intervalo.
Definição: conjunto fundamental de soluções
Qualquer conjunto soluções linearmente independentes 
da equação diferencial linear homogênea de ordem n em um intervalo I é 
chamado de conjunto fundamental de soluções no intervalo.
7Equações diferenciais de 2ª ordem
Teorema: existência de um conjunto fundamental
Existe um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial linear 
homogênea de ordem n em um intervalo I.
Assim como todo vetor no espaço tridimensional pode ser expresso como 
uma combinação linear dos vetores linearmente independentes, i, j, k, toda 
solução de uma equação linear homogênea de ordem n em um intervalo I 
pode ser expressa como uma combinação linear de n soluções linearmente 
independentes em I. 
Teorema: solução geral — equações homogêneas
Seja um conjunto fundamental de soluções da equação dife-
rencial linear homogênea de ordem n em um intervalo I. Então, a solução 
geral da equação no intervalo é , onde 
 são constantes arbitrárias.
No que diz respeito às equações não homogêneas, Zill (2013, p. 131) diz que:
Toda função , livre de parâmetros arbitrários, que satisfaz 
 é chamada de solução 
particular ou integral particular da equação. Por exemplo, é uma tarefa 
simples mostrar que a função constante é uma solução particular da 
equação não homogênea . Se forem soluções de 
 em um intervalo I e se for 
uma solução particular de 
em I, então a combinação linear é tam-
bém uma solução da equação não homogênea.
Vejamos agora alguns teoremas e definições das equações diferenciais 
lineares não homogêneas com base em Zill (2013, p. 131-132).
Teorema: solução geral — equações não homogêneas
Seja uma solução particular qualquer da equação diferencial linear não 
homogênea de ordem n em um intervalo I e seja um conjunto 
fundamental de soluções da equação diferencial homogênea associada a 
 em I. Então a solução 
geral da equação no intervalo é , 
onde , i = 1,2,3,..., n são constantes arbitrárias.
Equações diferenciais de 2ª ordem8
Teorema: princípio da superposição — 
equações não homogêneas
Sejam soluções particulares da equação diferencial li-
near não homogênea de ordem n em um intervalo I, correspondendo, 
por sua vez, a k funções distintas . Isto é, suponha que 
denote uma solução particular da equação diferencial correspondente 
, onde i = 1,2, ..., k. Então:
é uma solução particular de: 
Equações diferenciais de ordem superior
Vamos estudar as soluções gerais de equações diferenciais lineares de ordem 
superior. Para tanto, abordaremos os problemas de valor inicial e problemas 
de contorno. Zill (2013) define um problema de valor inicial de ordem n para 
uma equação diferencial linear como:
Sujeito a:
Para um problema desse tipo, procuramos uma função definida em algum 
intervalo I, contendo , que satisfaça a equação diferencial e as n condições 
iniciais especificadas em . No 
caso de um problema de valor inicial de segunda ordem, uma curva integral 
deve passar pelo ponto e ter inclinação nesse ponto (ZILL, 2013).
Veja o teorema que dá condições para a existência de uma única solução ao 
problema mencionadopelo autor: “Sejam 
contínuas em um intervalo I e seja para todo x nesse intervalo. 
9Equações diferenciais de 2ª ordem
Se for um ponto qualquer nesse intervalo, então existe uma única 
solução y(x) do problema de valor inicial nesse intervalo” (ZILL, 2013, p. 124).
Vejamos um exemplo de solução única de um problema de valor inicial.
Considere o problema de valor inicial:
3y’’’ + 5y’’ − y’ + 7y = 0; y(1) = 0, y’(1) = 0, y’’(1) = 0
Esse problema possui a solução trivial y = 0. Uma vez que a equação de terceira 
ordem é linear com coeficientes constantes, segue que todas as condições do teorema 
da existência de uma solução única estão satisfeitas. Portanto, y = 0 é a única solução 
em qualquer intervalo contendo x = 1.
Fonte: Zill (2013, p. 124).
Vejamos um exemplo de resolução de equação diferencial de ordem superior.
Ache uma solução geral para y’’’ + 3y’’ – y’ – 3y = 0. 
Resolução.
Se tentarmos encontrar soluções na forma , então, como nas equações de 
segunda ordem, somos levados a encontrar raízes da equação auxiliar r³ + 3r² – r – 3 = 0. 
Observamos que r = 1 é uma raiz da equação e, dividindo o polinômio do lado 
esquerdo por r – 1, obtemos a fatoração:
(r – 1)(r² + 4r + 3) = (r – 1)(r + 1)(r + 3) = 0
Daí as raízes da equação auxiliar são 1, –1 e –3, e por isso três soluções de y’’’ + 
3y’’ – y’ – 3y = 0 são .
Uma solução geral então é:
Fonte: Nagle, Saff e Snider (2012, p. 119-120).
Equações diferenciais de 2ª ordem10
As exigências do teorema da existência de solução única são importantes. 
Cabe ressaltar que, se para algum x no intervalo, então a solução 
de um problema de valor inicial linear pode não ser única ou não existir. 
Zill (2013) apresenta um exemplo. Observe que a função y = cx² + x +3 é 
uma solução do problema de valor inicial x²y’’ – 2xy’ + 2y = 6, y(0) = 3, y’(0) 
= 1 no intervalo para qualquer escolha do valor do parâmetro c. Ou 
seja, não há uma única solução do problema. Ainda que a maior parte das 
condições do teorema seja satisfeita, temos que é zero em x = 0 
e que as condições iniciais também são todas dadas em x = 0.
Outro problema mencionado por Zill (2013) é resolver uma equação dife-
rencial linear de segunda ordem em que a variável dependente y ou as suas 
derivadas são especificadas em pontos diferentes. Para exemplificar, veja o 
problema detalhado por Zill (2013, p. 125):
Sujeita a:
É chamado de problema de valor de contorno, sendo que e 
 são chamados de condições de contorno. Uma solução para esse 
problema pode ser visualizada no gráfico da Figura 2, em que uma função 
deve satisfazer a equação diferencial em algum intervalo I, contendo a e b, e 
que passe pelos dois pontos e .
11Equações diferenciais de 2ª ordem
Figura 2. Soluções do problema de valor de contorno pas-
sando por dois pontos.
Fonte: Zill (2013).
Outros possíveis pares de condições de contorno para uma equação dife-
rencial de segunda ordem poderiam ser:
onde e são constantes arbitrárias. 
Vejamos um exemplo em que, mesmo nos casos em que as condições do 
teorema da existência de uma solução única forem satisfeitas, um problema de 
contorno apresenta várias soluções, uma única solução ou nenhuma solução.
Equações diferenciais de 2ª ordem12
Da aplicação de equações diferenciais de 2ª 
ordem
Conhecemos, ao longo deste estudo, as definições e os teoremas das equações 
diferenciais de 2ª ordem. Agora a proposta é verificar um problema (com base 
em BOYCE; DIPRIMA, 2015, p. 166) aplicado considerando os conteúdos 
aprendidos.
Suponha que uma massa pesando estica uma mola 
de . Se a massa for deslocada 2 in a mais e depois colocada 
em movimento com uma velocidade inicial apontando para cima de 1 ft/s 
, determine a posição da massa em qualquer instante posterior. 
Determine, também, o período, a amplitude e a fase do movimento.
Como 1 ft = 12 in, a constante da mola é k = 10 Ib/2 in = 60 Ib/ft, e a massa 
é . Logo, a equação de movimento se reduz a 
s’’ + 192 s = 0, e a solução geral é . A solução 
que satisfaz as condições iniciais , e é:
A frequência natural é , de modo que o pe-
ríodo é . A amplitude R e a fase são dadas pela equação 
. Temos:
. 
Um problema de valor de contorno pode ter muitas, uma ou nenhuma solução. 
Vejamos:
A família de soluções a dois parâmetros da equação diferencial x’’ + 16x = 0 é 
. 
Suponha que desejamos determinar a solução da equação que adicionalmente 
satisfaz também as condições de contorno . Observe que a primeira 
condição implica ; logo, . Mas, quando 
 é satisfeita para toda escolha de , pois . Logo, 
o problema de valor de contorno:
Tem um número infinito de soluções. Veja a Figura 3, que mostra os gráficos de 
alguns membros da família a um parâmetro que passam pelos 
dois pontos (0,0) e .
Figura 3. Gráfico com algumas soluções
Fonte: Zill (2013)
13Equações diferenciais de 2ª ordem
Assim .
A segunda das equações, , nos dá . 
Existem duas soluções dessa equação, uma no segundo quadrante e outra no 
quarto quadrante. No problema atual, e ; logo, está 
no quarto quadrante e temos:
O gráfico a seguir ilustra a solução .
Se o problema de valor de contorno em 
for modificado para então x(0) = 0 vai 
continuar requerendo na solução da equação . 
Mas, aplicando , requer-se que . 
Logo, x = 0 é uma solução desse novo problema de valor de contorno. De fato, pode 
ser aprovado que x = 0 é a única solução da equação .
Finalmente, se modificarmos o problema para:
encontraremos novamente de x(0) = 0 que , mas, aplicando 
, obtemos a contradição . 
Logo, o problema de valor de contorno não tem solução.
Fonte: Zill (2013, p. 125-126)
Equações diferenciais de 2ª ordem14
Figura 4. Uma vibração livre não amortecida.
Fonte: Boyce e DiPrima (2015).
BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R.C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de 
contorno. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
NAGLE, R.K; SAFF, E.B.; SNIDER, A.D. Equações diferenciais. 8. ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2012.
ZILL, D.G. Equações diferenciais: com aplicações em modelagem. 2, ed. São Paulo: 
Cengage Learning, 2013.
Leitura recomendada
FIGUEIREDO, D. G.; NEVES, A.F. Equações diferenciais aplicadas. 2. ed. Rio de Janeiro: 
Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), 2002.
15Equações diferenciais de 2ª ordem
 
DICA DO PROFESSOR
Você já ouviu falar na equação de Cauchy-Euler? Ela é uma importante aliada na solução dos 
problemas utilizados nesta Unidade de Aprendizagem. Na Dica do Professor, você vai 
reconhecer o formato da equação de Cauchy-Euler e aprender em que tipo de situações ela é 
utilizada. A proposta é que você possa fazer relação com as equações diferenciais ordinárias de 
segunda ordem.
Confira.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) Sobre um problema de valor de contorno, é correto afirmar que: 
A) apresenta várias soluções, uma única solução ou nenhuma solução.
B) só poderá apresentar uma única solução.
C) nunca apresentará solução.
D) não se aplica a equações diferenciais de segunda ordem.
E) nunca terá infinitas soluções.
2) Verifique as equações a seguir e assinale a alternativa que apresenta uma equação 
diferencial linear homogênea. 
A) x3y'''+6y'+10y=ex.
B) y"+9y=27.
C) y"-3y'+4y=-16x2+24x-8.
D) y"+y=sec x.
E) x3y'''-2xy'+4y=0.
3) Encontre a solução particular da equação y''+y=0 que satisfaz as condições y(0)= 1 e 
y'(0)= -2. 
A) y=sen x-cos x.
B) y=2sen x.
C) y=cos x-2sen x.
D) y=cos x.
E) y=cos x-sen x.
4) Resolva a equação diferencial y''-y=0 e assinale a alternativa que contém a resposta 
correta. 
A) y=et+2.
B) y=c1et+c2e-t.
C) y=3xet2.
D) y=c1e-t+5.
E) y=et2-e-t.
5) Encontre a solução do problema de valor inicial 
 
 e assinale a alternativa que contempla a resposta correta.
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
NA PRÁTICA
Outra área em que o papel da matemática é importante é aquela relacionada aos coeficientes 
constantes e à interpretação dos resultados em termosde circuitos elétricos. Um exemplo de 
equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes é o modelo do 
fluxo de corrente elétrica no circuito em série simples.
Veja a seguir.
problema de valor inicial que tem precisamente a mesma forma que o que descreve o 
movimento de um sistema mola-massa. Esse é um bom exemplo do papel da matemática, pois 
pode-se resolver equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e interpretar 
os resultados em termos de vibrações mecânicas e circuitos elétricos, ou qualquer outra situação 
física que leve ao mesmo problema.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
O texto aborda equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes a 
partir de um exemplo prático, o problema carro-mola. Você vai reforçar os conhecimentos 
adquiridos e encontrar exemplos resolvidos, assim como pequenos resumos em torno do 
conteúdo.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
No vídeo EDO linear de 2a ordem – teorema de existência e unicidade, você vai ver 
equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, partindo do teorema de existência e 
unicidade. Inicia-se explicando o conceito de linear e também como identificar a ordem da 
equação. O material aborda o problema do valor inicial remetendo à Física. Você vai 
acompanhar, além da explicação teórico-matemática, alguns exemplos resolvidos.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
No vídeo Redução de ordem, você vai ver como trabalhar, a partir da forma padrão, com 
a equação diferencial e encontrar uma solução a partir de uma solução já conhecida, ou 
seja, dada a equação diferencial em sua forma padrão, aplica-se a técnica de redução de 
ordem para uma EDO de segunda ordem. Você vai acompanhar a explicação detalhada a 
partir de um exemplo.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!