Assunto 7 ENIAC Equações Diferenciais

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Equações diferenciais lineares de ordem 
superior
APRESENTAÇÃO
Grande parte dos problemas físicos encontrados nas Engenharias tem comportamento descrito 
por equações diferenciais, como as equações de movimento, as equações de malha em circuitos 
RLC, os problemas de escoamento de fluidos, de transferência de calor, etc. Muitas vezes, esses 
problemas envolvem equações com várias derivadas da mesma função.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade, é necessário dominar 
as equações diferenciais de primeira ordem, os operadores diferenciais e integrais e as funções.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar as equações diferenciais lineares de ordem 
superior homogêneas e não homogêneas, a dependência linear e a independência linear de 
funções, bem como identificar a solução dessas equações e suas aplicações na Engenharia.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Resolver equações diferenciais lineares homogêneas. •
Reconhecer o método de resolução de uma equação linear 
não homogênea.
•
Identificar as equações diferenciais em problemas aplicados. •
DESAFIO
As equações diferenciais são utilizadas para descrever muitos fenômenos físicos e são 
largamente aplicadas nas áreas de Engenharia e Física. Os circuitos elétricos, por exemplo, 
geralmente são formados por resistências, indutores e capacitores, e seu comportamento é 
descrito por meio de equação diferencial de segunda ordem.
Para este Desafio, você terá que resolver um problema envolvendo um circuito LC. Acompanhe:
Diante das informações, encontre a equação de corrente nesse circuito.
INFOGRÁFICO
Equações diferenciais não homogêneas são resolvidas em dois passos. No primeiro passo, 
encontra-se a solução para a equação homogênea associada como uma equação homogênea 
qualquer de ordem n, e, no segundo passo, deve-se encontrar a solução particular.
A seguir, no Infográfico, veja um exemplo de como solucionar uma equação diferencial linear 
de ordem n não homogênea.
CONTEÚDO DO LIVRO
Equações diferenciais de ordem superior estão presentes em inúmeros problemas de Física, 
como em circuitos elétricos, equação de movimento, escoamento de fluidos, etc.
Leia o capítulo Equações diferenciais lineares de ordem superior, 
da obra Cálculo II, para entender o que são essas equações e 
como resolvê-las.
Boa leitura.
CÁLCULO II 
Everton Coelho de Medeiros
Equações diferenciais 
de ordem superior 
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Resolver equações diferenciais lineares de ordem superior.
 � Diferenciar o método de resolução de equações lineares homogênea 
e não homogênea.
 � Identificar as equações diferenciais em problemas aplicados.
Introdução
Equações diferenciais de ordem superior são muito empregadas para 
modelar diversos problemas físicos, com muitas aplicações práticas em 
engenharia, física, medicina, biologia e outras diversas áreas. Ao solucionar 
uma equação diferencial de ordem superior, é possível, por exemplo, 
encontrar equações para o projeto de sistemas de máquinas, circuitos 
elétricos, pontes, etc.
Neste capítulo, abordaremos como são classificadas e os métodos 
de resolução de equações lineares homogêneas e não homogêneas. Ao 
final, você aprenderá a resolver equações diferenciais de ordem superior 
por meio da exposição de problemas aplicados.
Equações diferenciais lineares de 
ordem superior
Uma equação diferencial de ordem superior tem a forma:
As funções Cn, Cn-1, …, C1, C0 e F(x) são contínuas em um intervalo I e, 
também, reais. A esse tipo de equação é dado o nome de problema de valor 
inicial (ZILL; CULLEN, 2001).
Para resolver essa equação, são necessárias n iterações que resultaram 
em um número n de constantes. Logo, para obter uma única solução, faz-se 
necessário conhecer alguns valores específicos:
aos quais se dá o nome de condições iniciais.
Um exemplo de equação diferencial de ordem dois é mostrado a seguir:
com condições iniciais:
y(x0) = y0, y(x0) = 0
em um intervalo I, em que a equação é contínua.
Teorema da existência de única solução
Sendo Cn(x), Cn-1 (x), ..., C1(x), C0(x) e F(x) contínuos no intervalo I, dado que 
Cn(x) ≠ 0 em qualquer valor de x no intervalo, existirá somente uma única 
solução y(x) que satisfaça as condições iniciais no intervalo I.
Verificar que g(a) = 3e2a + e–2a – 3a é uma solução para:
com:
Equações diferenciais de ordem superior2
Solução:
A princípio, numa equação diferencial, seus coeficientes e F(a) =12a são contínuos, 
e C2 = 1 ≠ 0 em qualquer intervalo que contenha a = 0. Tendo essas informações, 
pode-se confirmar a existência de única solução, como diz o teorema.
Substituindo os valores de a para as condições iniciais:
Derivando-se g:
A função g(a) = 3e2a – 2e–2a – 3a é a única solução para a equação diferencial de 
ordem dois, pois atende às condições do teorema e iniciais.
Dependência e independência linear 
Dado um conjunto de funções num intervalo I, existindo constantes k1, k2, ..., kn 
não nulas:
Afirma-se que as funções são linearmente dependentes e, caso contrário, 
as são linearmente independentes (BOYCE; DIPRIMA, 2010).
Existindo duas funções linearmente dependentes:
Reescrevendo a equação, isolando-se f1(x):
Assim, para todo valor de x, funções linearmente dependentes são múltiplas 
umas das outras. Ao contrário, são linearmente independentes.
3Equações diferenciais de ordem superior
Prove que as funções f1(x) = sen(2x) e f2(x) = sen(x) ∙ cos(x) são linearmente dependentes.
Primeiramente, deve-se utilizar a relação trigonométrica para sen(2x) = 2sen(x) ∙ cos(x).
Assim:
Critério para independência linear de funções
Chama-se Wronskiano o valor do determinante das funções de uma equação 
diferencial, supondo-se que cada função seja diferenciável n – 1 vezes.
Caso o determinante seja igual a zero em algum ponto do intervalo I, 
as funções são linearmente independentes no intervalo. O Wronskiano das 
funções é denotado por:
Equações diferenciais de ordem superior4
Calcular o Wronskiano das funções a seguir e verificar se são linearmente dependentes 
ou independentes.
Como W ≠ 0, as funções são linearmente independentes.
Equações diferenciais homogêneas e não 
homogêneas
Uma equação diferencial de ordem n na forma demonstrada a seguir é clas-
sificada como homogênea.
Já, caso tenha a seguinte forma, é classificada como não homogênea (ZILL; 
CULLEN, 2001).
Equações diferenciais homogêneas 
Equações de ordem superior tendem a ter soluções exponenciais y = k1 ⋅ e–ax, 
como as de primeira ordem. Toma-se como exemplo a equação de segunda 
ordem a seguir:
5Equações diferenciais de ordem superior
A solução desse problema tem a forma y = epx, logo y' = pepx, y'' = p2epx. 
Então, a equação se torna:
Uma função exponencial nunca se anula, independentemente do valor de 
x. Portanto, é necessário que os coeficientes se anulem. Com isso, tem-se uma 
nova equação chamada equação auxiliar (ZILL; CULLEN, 2001).
Resolvendo a equação auxiliar, encontra-se o valor de p. Como, nesse caso, 
a equação diferencial é de ordem dois, a equação auxiliar é uma equação de 
segundo grau, para as quais existem três situações para suas raízes: duas 
raízes reais e distintas, duas raízes reais e iguais, raízes complexas conjugadas.
Raízes reais distintas 
A equação auxiliar tem duas raízes p1 e p2:
As duas funções encontradas são linearmente independentes, visto que 
uma não pode ser escrita como múltipla da outra. Assim, ambas formam um 
conjunto de fundamental solução. Para equações homogêneas, existe o teorema 
do princípio da superposição: para uma equação diferencial homogênea de 
ordem n, a superposição, a soma, das soluções é também uma solução dela. 
Sendo assim, pode-se escrever a função y como:
onde p1 e p2 são raízes da equação auxiliar, e k1 e k2 são constantes da função y.
Equações diferenciais de ordem superior6
Raízes reais iguaisQuando p1 = p2, encontra-se, a princípio, apenas uma solução exponencial 
y1 = e
(p1x) para a equação. Porém, é possível chegar a uma nova solução a partir 
da primeira, por meio da redução de ordem. Ou seja, a equação de ordem 
dois é reescrita como uma equação de ordem um, ao fazer y′ = w, podendo 
ser novamente resolvida por método integrativo. 
Pela resolução, encontra-se que:
Raízes complexas conjugadas 
Sendo p1 e p2 complexas conjugadas, pode-se escrever:
onde k1 e k2 são constantes da função y.
Essa solução, formalmente, não tem distinção em relação ao caso de duas 
raízes reais. Entretanto, utiliza-se a fórmula de Euler para que não se trabalhe 
com funções exponenciais complexas.
cos sen
Pode-se escrever a solução da equação diferencial como:
cos sen
7Equações diferenciais de ordem superior
Resolva o problema de valor inicial f'' – 4f' + 13f = 0, sujeito a f(0) = –1 e f'(0) = 2.
A equação diferencial linear de ordem dois tem como equação auxiliar:
Resolvendo a equação auxiliar, encontra-se duas raízes complexas: m1 = 2 + i3 e 
m2 = 2 – i3.
Sendo assim, pode-se escrever f como:
cos sen
Para a condição f(0) = –1, tem-se:
cos sen
Logo, k1 = –1.
Derivando a função solução, tem-se:
sen cos cos sen
Para f'(0) = 2, encontra-se , portanto:
cos sen
Para equações de ordem n, deve-se encontrar a equação auxiliar, que é 
polinomial de grau n:
Para o caso de todas as raízes serem reais e distintas, a solução geral tem 
a forma:
Devido ao maior grau do polinômio, existem as mais diversas combinações 
de raízes.
Equações diferenciais de ordem superior8
Encontre a solução geral para y(4) – y = 0, satisfazendo as condições iniciais:
A função y tem forma eax, com equação auxiliar:
As raízes da equação são:
Dadas as raízes, a solução geral é:
sen
Aplicando as condições iniciais, encontra-se o sistema:
Resolvendo o sistemas, tem-se:
Logo, a solução geral será:
sen
9Equações diferenciais de ordem superior
Equações diferenciais não homogêneas
Para resolver equações lineares não homogêneas, é necessário seguir dois 
passos:
 � encontrar a função complementar, que é a solução da equação diferencial 
homogênea associada;
 � encontrar qualquer solução particular para a equação não homogênea.
Como visto anteriormente, uma equação não homogênea de segunda ordem 
tem a forma:
O método utilizado é o dos coeficientes a serem determinados utilizando-se 
o teorema da superposição. Esse método se limita a equações não homogêneas 
de coeficientes constantes, e a função pode ser: polinomial, exponencial, seno, 
cosseno ou soma e produto dessas (ZILL; CULLEN, 2001).
Encontrar a solução particular da equação y'' + 2y' – 3y = x2 – 3x – 10.
Resolvendo a parte homogênea associada, encontra-se a solução complementar:
Agora, deve-se chegar à solução particular, supondo que ela tenha a mesma forma 
da função f(x).
Derivando a solução particular duas vezes, conforme a equação homogênea 
associada:
Equações diferenciais de ordem superior10
Assim:
Agrupando por coeficientes do polinômio, chega-se em:
Com isso, encontra-se a equação particular:
A solução geral é a superposição da equação complementar e particular:
Determine a solução particular para: y'' + 3y' – 4y = 2 ∙ sen2x.
A solução particular tem a forma: A ∙ cos 2x + B ∙ sen 2x.
Derivando e substituindo a solução particular na equação diferencial:
–A ∙ cos x – B ∙ sen x + 3 ∙ (–A ∙ sen x + B ∙ cos x) – 4 ∙ (A ∙ sen x + B ∙ cos x) = 2 ∙ sen x
e reagrupando os termos:
Logo: 
11Equações diferenciais de ordem superior
Determine a solução particular para:
A solução particular tem forma:
Derivando e substituindo a solução particular na equação diferencial:
e reagrupando os termos:
Logo:
No momento da resolução para encontrar a solução particular, não se escolhe a função 
de forma aleatória. A função da solução particular, normalmente, tem forma parecida 
com a função f(x). Veja, no Quadro 1, a relação entre f(x) e yp.
Quadro 1. Relação f(x) e yp.
f(x) Forma de yp
1 (constante) A
ax + b Ax + b
Equações diferenciais de ordem superior12
f(x) Forma de yp
ax2 + b + c Ax2 + b + c
Ax3 + bx2 + cx + d Ax3 + Bx2 + Cx + D
sen (ax) A ∙ cos(ax) + B ∙ sen(ax)
cos (ax) A ∙ cos(ax) + B ∙ sen(ax)
eax A ∙ eaxt
(ax – b) ∙ ecx (Ax – B) ∙ ecx
x2 ∙ eax (Ax2 + Bx + C) ∙ eax
eax ∙ sen(bx) A ∙ eax ∙ cos(bx) + B ∙ eax ∙ sen(bx)
ax2 ∙ sen(bx) (Ax2 + Bx + C) ∙ cos(bx) + (Dx2 + Ex + F) ∙ sen(bx)
Problemas aplicados
Muitos sistemas físicos são modelados por meio de equações diferenciais 
lineares, como a equação de movimento em sistema massa-mola ou a corrente 
elétrica em um circuito RLC série, mostrado na Figura 1.
Figura 1. Circuito RLC série.
13Equações diferenciais de ordem superior
Aplicando-se a lei de Kirchhoff, a soma das tensões deve ser igual a zero 
em uma malha.
Como corrente é a variação temporal da carga elétrica, reescreve-se a 
equação como:
Para o circuito da Figura 1, encontrar a carga q(t) no capacitor, sendo q(0) = q0 e 
i(0) = 0, e(t) = 0.
Escrevendo a equação diferencial:
,
e reescrevendo-a:
encontra-se uma equação diferencial linear homogênea de ordem dois. Portanto, 
deve-se encontrar e resolver a equação auxiliar:
que tem como raízes: t1 = –20 + 60i e t2 = –20 – 60i.
A equação diferencial do circuito tem como solução geral:
Equações diferenciais de ordem superior14
Aplicando-se as condições iniciais:
a equação para a carga no circuito é:
No link a seguir, você poderá entender melhor a lei de Kirchhoff para tensão, aprenderá 
o que é uma malha ou um nó e a convenção de sinais para o cálculo das malhas.
https://qrgo.page.link/u2Hwd
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de 
contorno. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010. 607 p. 
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais, volume 1. 3. ed. São Paulo: Pearson; 
Makron Books, 2001. 473 p.
Leitura recomendada
STEWART, J. Cálculo, volume 2. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017. 672 p. 
15Equações diferenciais de ordem superior
DICA DO PROFESSOR
Equações diferenciais nem sempre serão homogêneas; pelo contrário, na maioria das vezes, 
serão equações não homogêneas com as mais diversas funções g(x). Para solucionar equações 
não homogêneas, existem alguns métodos. Um dos mais simples é o método dos coeficientes a 
determinar; para tanto, é preciso encontrar a solução complementar, que nada mais é que a 
solução da equação homogênea associada, e a solução particular da função g(x). A solução 
particular pode ser obtida por meio de um conjunto preestabelecido de funções.
Na Dica do Professor a seguir, veja como encontrar essa solução.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
 
EXERCÍCIOS
1) Sendo y = c1ex + c2e−x solução geral para y’’ − y = 0, no intervalo (∞, −∞), 
encontre a solução, tendo os valores iniciais y(0) = 0, y’(0) = 1.
A) 
 
B) 
 
C) 
D) 
E) 
2) Determine se as funções f1(x) = x, f2(x) = x2 e f3(x) = 4x − 3x2 são linearmente 
dependentes ou não dependentes.
A) Linearmente dependentes com coeficientes c1 = −4, c2 = 3, c3 = 1.
B) Linearmente independentes.
C) Linearmente dependentes com Wronkiano diferente de zero.
D) Linearmente independentes com Wronkiano igual a zero.
E) Linearmente independentes com Wronkiano diferente de zero.
3) Resolva a equação diferencial 2y’’ − 5y’ − 3y = 0.
A) y = k1ex − k2e2x 
B) y = k1e−0,5x − k2e2x
C) y = k1e−0,5x + k2e3x
D) y = k1e0.5x + k2e3x
E) y = −k1ex − k2e2x
4) Encontre a solução particular para y’' − 5y’ + 4y = 8ex.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
5) Considere um circuito LC com e(t) = 0. Determine a carga q(t) no capacitor, se q(0) = 
q0 e i(0) = 0, sabendo que a equação de malha é 
A) 
 
B) 
C) 
D) 
E) 
NA PRÁTICA
Muitos problemas de Engenharia são descritos, matematicamente, como equações diferenciais 
de ordem dois ou superiores, podendo ser homogêneas ou não. A solução de circuitos RLC é 
feita por meio da solução da equação diferencial de segunda ordem que se originapela Lei de 
Kirchhoff das malhas.
Na Prática, veja como é determinada a corrente estacionária em um circuito RLC série.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Equações diferenciais lineares de ordem n — Parte I
No vídeo a seguir, o professor Claudio Possani, da UNIVESP, trata de equações diferenciais de 
ordem superior trazendo soluções para problemas homogêneos e não homogêneos.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Equações diferenciais lineares de ordem n — Parte II
O vídeo a seguir é a continuação das explicações do professor Claudio Possani sobre equações 
diferenciais de ordem superior.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Lei de Kirchhoff
No link a seguir, saiba mais sobre a Lei de Kirchhoff para tensão, compreendendo o que é uma 
malha ou nó e a convenção de sinais para o cálculo das malhas. 
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Lista de exercícios
Para aprender equações diferenciais lineares de ordem superior, é importante que você treine 
fazendo diversos exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
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