Matrizes e Álgebra Linear

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ÁLGEBRA LINEAR, VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA - Professora Elizabete L. Silva – elizabete.silva@fmu.br 
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MATRIZES 
 
 Definição: Uma matriz 𝐴𝑚𝑥𝑛 (𝑚 por 𝑛) é uma tabela de 𝑚 𝑛 números dispostos em 𝑚 
linhas e 𝑛 colunas. 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑛
] 
 
Usamos também a notação 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)
𝑚𝑥𝑛
. 
Dizemos que 𝑎𝑖𝑗 é o elemento ou a entrada de posição 𝑖, 𝑗 da matriz 𝐴. 
 
Exemplo: 
𝐴2 𝑋 3 = [
1 2 0
3 4 −2
] 
 
A matriz 𝐴 é 2 por 3, ou seja, tem 2 linhas e 3 colunas. 
 
 
Observações: 
 
𝑎11 ⇒ É o elemento da matriz 𝐴 que está localizado na primeira linha e na primeira 
coluna. Neste exemplo, temos: 𝑎11 = 1. 
 
𝑎23 ⇒ É o elemento da matriz 𝐴 que está localizado na segunda linha e na terceira 
coluna. Neste exemplo, temos: 𝑎23 = −2. 
 
𝐴23 ⇒ É uma matriz que possui duas linhas e três colunas. 
 
 
 Matriz Quadrada: Se 𝑚 = 𝑛, dizemos que 𝐴 é uma matriz quadrada de ordem 𝑛. 
Os elementos 𝑎11, 𝑎22, 𝑎33, ..., 𝑎𝑚𝑛 formam a diagonal principal de 𝐴. E os elementos 
𝑎1𝑛, 𝑎2(𝑛−1), 𝑎3(𝑛−2),..., 𝑎(𝑚−1)2, 𝑎𝑚1 formam a diagonal secundária de 𝐴. 
 
 
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Exemplos: 
1) 𝐴2 𝑋 2 = [
1 2
3 4
] 
A matriz 𝐴 é 2 𝑋 2, ou seja é quadrada de ordem 2. Os elementos 𝑎11 = 1 e 𝑎22 = 4 
formam a diagonal principal de 𝐴. Os elementos 𝑎12 = 2 e 𝑎21 = 3 formam a diagonal 
secundária de 𝐴. 
 
2) 𝐵3 = (
1 6 2
7 −2 1
−5 0 3
) 
A matriz 𝐵 é 3 𝑋 3, ou seja é quadrada de ordem 3. Os elementos 𝑎11 = 1, 𝑎22 = −2 
e 𝑎33 = 3 formam a diagonal principal de 𝐵. Os elementos 𝑎13 = 2, 𝑎22 = −2 e 𝑎31 = −5, 
formam a diagonal secundária de 𝐵. 
 
 
 Matriz Linha: Uma matriz que só possui uma linha é chamada matriz linha. 
 
Exemplo: 
𝐴1 𝑋 3 = [1 3 −2] 
 
A matriz 𝐴 é 1 por 3, ou seja, tem 1 linha e 3 colunas. Desta forma, a matriz 𝐴 é uma 
matriz linha. 
 
 
 Matriz Coluna: Uma matriz que só possui uma coluna é chamada matriz coluna. 
 
Exemplo: 
𝐴3 𝑋 1 = [
1
4
−3
] 
 
A matriz 𝐴 é 3 por 1, ou seja, tem 3 linhas e 1 coluna. Desta forma, a matriz 𝐴 é uma 
matriz coluna. 
 
 
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 Matriz Triangular: Uma matriz quadrada é uma matriz triangular se os elementos acima 
ou abaixo da diagonal principal são todos nulos. 
 
Exemplos: 
𝐴 = [
2 0 0
8 3 0
7 9 −5
] e 𝐵 = [
1 5 7 −9
0 3 8 0
0 0 3 −1
0 0 0 4
] 
 
As matrizes 𝐴 e 𝐵 são matrizes triangulares. 
 
 
 Matriz Diagonal: Uma matriz quadrada é uma matriz diagonal se todos os elementos 
acima e abaixo da diagonal principal são iguais à zero. 
 
Exemplos: 
𝐴 = [
2 0 0
0 3 0
0 0 −5
] e 𝐵 = [
1 0 0 0
0 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
] 
 
As matrizes 𝐴 e 𝐵 são matrizes diagonais. 
 
 
 Matriz Identidade: Uma matriz quadrada é uma matriz identidade se todos os elementos 
da diagonal principal são iguais a um e os outros elementos da matriz são iguais a zero. 
O símbolo para esta matriz é 𝐼𝑛, onde 𝑛 é a ordem da matriz. 
Exemplos: 
𝐼2 = [
1 0
0 1
] , 𝐼3 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] e 𝐼4 = [
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
] 
 
Em uma matriz identidade, temos {
𝑎𝑖𝑗 = 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 𝑗
𝑎𝑖𝑗 = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 𝑗
. 
 
 
 
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 Matriz Nula: Uma matriz é uma matriz nula se tem todos os elementos iguais à zero. 
O símbolo para uma matriz nula de 𝑚 linhas e 𝑛 colunas é 𝑂𝑚𝑥𝑛, e se a matriz for 
quadrada de ordem 𝑛 o símbolo é 𝑂𝑛. 
 
Exemplos: 
𝑂2 = [
0 0
0 0
] , 𝑂3 = [
0 0 0
0 0 0
0 0 0
] e 𝑂2𝑥3 = [
0 0 0
0 0 0
] 
 
 
 Matrizes Iguais: Dizemos que duas matrizes são iguais se elas têm o mesmo tamanho e 
os elementos correspondentes são iguais, ou seja, 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)
𝑚𝑥𝑛
e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)
𝑝𝑥𝑞
são iguais se 
𝑚 = 𝑝, 𝑛 = 𝑞 e 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 para 𝑖 = 1, . . . , 𝑚 e 𝑗 = 1, . . . , 𝑛. 
 
Exemplo: 
𝐴 = [
1 0 2
2 −3 7
−1 3 −5
] e 𝐵 = [
1 0 2
2 −3 7
−1 3 −5
] 
 
As matrizes 𝐴 e 𝐵 são iguais. 
 
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