Calculo 1-54

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133. Questão: Se \( f(x) = \cos(10x) \), qual é a derivada \( f'(x) \)? 
 Resposta: A derivada de \( \cos(10x) \) em relação a \( x \) é \( -10\sin(10x) \). Isso pode 
ser obtido aplicando a regra da cadeia e a regra da derivada da função cosseno. 
 
134. Questão: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = x^2 \) e o eixo x de \( 
x = 0 \) a \( x = 4 \). 
 Resposta: A área sob a curva \( y = x^2 \) de \( x = 0 \) a \( x = 4 \) é dada pela integral 
definida \( \int_{0}^{4} x^2 \, dx \). Aplicando a regra da integral definida, obtemos \( \left[ 
\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{64}{3} \) unidades 
quadradas. 
 
135. Questão: Qual é o valor de \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(10x)}{x} \)? 
 Resposta: Utilizando a definição de derivada do seno em \( x = 0 \), sabemos que \( 
\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(10x)}{x} = 10 \). 
 
136. Questão: Resolva a equação \( \log_{10}(x) = 3 \). 
 Resposta: Para resolver a equação, aplicamos a definição de logaritmo na base 10, 
resultando em \( x = 10^3 = 1000 \). 
 
137. Questão: Se \( f(x) = \sin^2(x) \), qual é a derivada \( f'(x) \)? 
 Resposta: Para encontrar \( f'(x) \), aplicamos a regra da cadeia à função \( \sin^2(x) \). A 
derivada é \( f'(x) = 2\sin(x)\cos(x) \). 
 
138. Questão: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \cos(x) \) e o eixo x 
de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: A área sob a curva \( y = \cos(x) \) de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{4} \) é dada pela 
integral definida \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(x) \, dx \). Aplicando a regra da integral 
definida, obtemos \( \left[ \sin(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sin(\frac{\pi}{4}) - \sin(0) = 
\frac{\sqrt{2}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{2}}{2} \) unidades quadradas. 
 
139. Questão: Qual é o valor de \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{\tan(11x)}{x} \ 
 
)? 
 Resposta: Utilizando a definição de derivada da tangente em \( x = \infty \), sabemos que 
\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{\tan(11x)}{x} = 11 \).