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Grupos, anéis e corpos: definição, propriedades.
Vamos abordar cada uma dessas estruturas matemáticas:
### Grupos:
Um grupo é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto \( G \) e uma operação binária \( \cdot \) (geralmente denotada por multiplicação), que satisfaz as seguintes propriedades:
1. **Associatividade:** Para todos os \( a, b, c \) em \( G \), a operação \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \) é válida.
2. **Elemento Neutro:** Existe um elemento \( e \) em \( G \) (chamado de elemento neutro) tal que \( a \cdot e = e \cdot a = a \) para todo \( a \) em \( G \).
3. **Elemento Inverso:** Para cada elemento \( a \) em \( G \), existe um elemento \( b \) em \( G \) (chamado de inverso de \( a \)) tal que \( a \cdot b = b \cdot a = e \), onde \( e \) é o elemento neutro.
Exemplos de grupos incluem o grupo dos números inteiros sob a operação de adição e o grupo dos números racionais (exceto zero) sob a operação de multiplicação.
### Anéis:
Um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto \( R \) e duas operações binárias \( + \) (adição) e \( \cdot \) (multiplicação), que satisfazem as seguintes propriedades:
1. \( (R, +) \) é um grupo abeliano (ou seja, a operação de adição é comutativa e possui elemento neutro e inverso).
2. **Associatividade da Multiplicação:** Para todos os \( a, b, c \) em \( R \), a operação \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \) é válida.
3. **Distributividade:** Para todos os \( a, b, c \) em \( R \), as operações de adição e multiplicação satisfazem as propriedades distributivas: \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \) e \( (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \).
Exemplos de anéis incluem o anel dos números inteiros com as operações usuais de adição e multiplicação, e o anel dos polinômios com coeficientes reais ou complexos sob as operações usuais de adição e multiplicação de polinômios.
### Corpos:
Um corpo é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto \( F \) com duas operações binárias \( + \) (adição) e \( \cdot \) (multiplicação), que satisfazem as seguintes propriedades:
1. \( (F, +) \) é um grupo abeliano.
2. \( (F \setminus \{0\}, \cdot) \) é um grupo abeliano, onde \( 0 \) é o elemento neutro da adição.
3. **Associatividade da Multiplicação:** Para todos os \( a, b, c \) em \( F \), a operação \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \) é válida.
4. **Elemento Neutro da Multiplicação:** Existe um elemento \( 1 \) em \( F \) (chamado de elemento neutro da multiplicação) tal que \( a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \) para todo \( a \) em \( F \) diferente de zero.
5. **Elemento Inverso da Multiplicação:** Para cada elemento \( a \) diferente de zero em \( F \), existe um elemento \( b \) em \( F \) (chamado de inverso multiplicativo de \( a \)) tal que \( a \cdot b = b \cdot a = 1 \), onde \( 1 \) é o elemento neutro da multiplicação.
Exemplos de corpos incluem o conjunto dos números reais, dos números complexos e dos números racionais.
Em resumo, os grupos são estruturas mais simples que possuem apenas uma operação e satisfazem certas propriedades, enquanto os anéis e os corpos são estruturas mais complexas que possuem duas operações e satisfazem propriedades adicionais.