Conjuntos

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Objetivos
Módulo 1
Linguagem dos conjuntos
Compreender a linguagem dos conjuntos.
Acessar módulo
Módulo 2
Operações entre os conjuntos
Identificar as operações realizadas entre conjuntos.
Acessar módulo
Módulo 3
Operações entre os intervalos da reta
Resolver operações entre intervalos da reta.
Acessar módulo
Módulo 4
Conjuntos e problemas do cotidiano
Resolver problemas do cotidiano utilizando conjuntos.
Acessar módulo
Conjuntos
Prof. Aleksandro de Mello
Descrição Noção da linguagem básica de conjuntos e das operações entre conjuntos e
entre intervalos da reta. A teoria de conjuntos aplicada à resolução de
problemas.
Propósito Compreender a teoria de conjuntos, trabalhando com vários tipos de
conjuntos e de operações entre eles a fim de aplicar esses conhecimentos na
solução de problemas do cotidiano.
Preparação Tenha em mãos: calculadora, papel, lápis, caneta. Você pode também utilizar
um aplicativo de desenho, como a ferramenta Paint, por exemplo.
Introdução
Conheceremos os conceitos básicos para o entendimento da linguagem de
conjuntos. Veremos como relacionar elementos a conjuntos e como comparar
conjuntos. Aprenderemos as principais operações entre conjuntos e como
resolver cada uma delas utilizando as representações de conjuntos e algumas
propriedades dessas operações. Também vamos identificar, geometricamente,
quais operações foram realizadas.
Outro conteúdo básico e fundamental para a Matemática que trabalharemos
neste tema são as operações envolvendo os intervalos da reta real. Para alguns
conjuntos particulares, as representações geométricas na reta real são a melhor
maneira de desenvolver as operações. Por isso, vamos listar os tipos de
intervalos que a reta real possui e representá-los nas três principais formas de
visualização.
E, por fim, vamos dar sentido a todo esse aprendizado: veremos várias aplicações
do conteúdo estudado aqui em problemas do dia a dia e em questões cobradas
em concursos.
1
Linguagem dos conjuntos
Ao final deste módulo, você será capaz de compreender a linguagem dos conjuntos.

Noções básicas da teoria de conjuntos
Neste módulo e nos demais, você perceberá um padrão na apresentação do conteúdo.
Escolhemos esse caminho porque acreditamos ser o mais eficiente para que você:

Conheça o conceito
matemático por meio de
de�nições e notações.

Perceba a aplicabilidade do
conceito com um ou mais
exemplos.
De�nição 1
Dizemos que um elemento x pertence ao conjunto A quando x é um dos componentes
do conjunto A. Em outras palavras:

Elemento x perternce ao
conjunto A
Quando “está dentro” do
conjunto.
Elemento x não pertence ao
conjunto A
Quando não “está dentro” do
conjunto.
Note que, na teoria de conjuntos, é comum utilizarmos letras maiúsculas para
representarmos os conjuntos (exemplo: A, B, C, X, Y,…) e letras minúsculas para
representar os elementos do conjunto (exemplo: a, b, c, x, y,…). Daqui para frente,
utilizaremos as seguintes notações básicas de pertinência:
• (lê-se: pertence a A) quando é um elemento de A.
• (lê-se: não pertence a A) quando não é um elemento de .
Vejamos um exemplo para entendermos a definição e a notação acima.
Exemplo 1
Considerando o conjunto A={−2, 0, 1, 4}, podemos afirmar que:
• , pois estes elementos estão no conjunto .
• Qualquer outro número diferente dos listados anteriormente não está no
conjunto A, por exemplo: -4 A, . Assim, podemos escrever
resumidamente que: se é diferente de -2, 0,1 e 4 , então A.
É importante destacar os principais tipos de representação que podemos ter de um
conjunto:
Representação por extensão
Nesse tipo de representação, listamos todos os elementos do conjunto
explicitamente, como fizemos no exemplo 1. Tal representação também descreve
conjuntos infinitos, como o dos números naturais: .
Representação por compreensão

x ∈ A x x
x ∉ A x x A
−2 ∈ A, 0 ∈ A, 1 ∈ A, 4 ∈ A A
∉ −1 ∉ A, 2 ∉ A
x x ∉
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Representação por compreensão
Neste tipo de representação, os elementos do conjunto são determinados por uma
propriedade específica do conjunto.
Exemplo 2
Observe os seguintes conjuntos:
• . Lê-se: A é o conjunto dos números que são naturais e
menores do que 4 . Logo, o conjunto A pode ser representado explicitamente
por:
A = {0, 1, 2, 3}.
• . Lê-se: B é o conjunto dos números que são inteiros e
menores do que 4. Fique atento ao conjunto como um todo, pois apesar de o
conjunto B possuir a mesma propriedade do conjunto , (que é: ), no
conjunto estamos considerando , e não apenas (como no conjunto
 ). Logo, o conjunto B pode ser representado explicitamente por:
B = {…,−2, −1, 0, 1, 2, 3}.
Representação por �guras
Neste caso, representamos os conjuntos através de figuras como mostra a imagem a
seguir.
A = {x ∈ N ∣ x < 4} x
B = {x ∈ Z ∣ x < 4} x
A x < 4
B x ∈ Z x ∈ N
A
A figura anterior é uma representação gráfica do conjunto A = {−1, 1, 3, 5}.
De�nição 2: Igualdade de conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Dizemos que os conjuntos A e B são iguais se
eles possuem exatamente os mesmos elementos. Nesse caso, escreveremos:
A = B.
No caso em que não vale a igualdade, escreveremos:
A ≠ B,
Isso significa que algum desses conjuntos possui um elemento que não pertence ao
outro conjunto.
De�nição 3: Subconjuntos
Curiosidade
A representação de conjuntos através de figuras é chamada de diagrama de
Venn, em homenagem a John Venn, que criou esse diagrama para facilitar o
entendimento das operações entre conjuntos, conforme veremos no próximo
módulo.

Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Dizemos que A é um subconjunto de B, (ou que
A está contido em B) se todo elemento de A também é um elemento de B, ou seja:
O símbolo na matemática é lido como: somente se.
Logo, escreveremos:
Caso contrário, ou seja, se existe algum elemento de A que não está em B, dizemos
que A não está contido em B e representamos por:
A notação de subconjunto também pode ser expressa da seguinte maneira:
Quando , podemos também escrever essa expressão da forma:
Utilizando o diagrama de Venn, podemos visualizar (o mesmo que ):
x ∈ A ⇒ x ∈ B
⇒
A ⊂ B.
A ⊄ B.
A ⊂ B
B ⊃ A( Lê-se: B contém A).
A ⊄ B
B ⊅ A( Lê-se: B não contém A). 
A ⊂ B B ⊃ A
como mostra a figura:
Vejamos os exemplos a seguir para entender esses conceitos.
Exemplo 3
Observe os conjuntos A = {1, 3, 4, 7} e B = {7, 1, 3,4}.
• Esses conjuntos são iguais, A = B, pois não importa a disposição dos elementos
no conjunto para a análise de igualdade.
• Além disso, também podemos perceber que valem as duas inclusões:
 e , pois todo elemento de está em e vice-versa. Essas inclusões
poderiam ser reescritas como:
Observe que combinando as definições 2 e 3, podemos destacar uma das
propriedades dos conjuntos que é:
Exemplo 4
A ⊂ B B ⊂ A A B
B ⊃ A ∈ A ⊃ B
A = B se, e somente se, A ⊂ B e B ⊂ A. 
Agora observe os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {…, −2, −1, 0, 1, 2, 3} vistos no exemplo
2.
• Note que , pois B possui elementos que não estão em , por exemplo,
, mas .
O mesmo argumento também garante que , ou seja, não está contido em .
Outra forma de escrever seria: , ou seja, não contém .
• Mas, como pode ser visto facilmente, todo elemento de A está em B, ou seja, A é
um subconjunto de B: A B. Outra forma de escrever essa inclusão seria: 
.
De�nição 4
Seja A um conjunto. Dizemos que A é:
• Um conjunto unitário se A possui um único elemento.
• Um conjunto vazio se A não possui nenhum elemento.
Portanto, representamos A = { } ou A = Ø.
Exemplo 5
Considere os seguintes conjuntos: e
• Note que A é um conjunto vazio, , pois não existe tal que .
• Já o conjunto é um conjunto unitário.
A ≠ B A
−2 ∈ B −2 ∉ A
B ⊄ A B A
A ⊅ B A B
⊂ B ⊃ A
A = {x ∈ N ∣ x < −2}
B = {x ∈ Z ∣ −6 < x < −4}
A = ∅ x ∈ N x < −2
B = {x ∈ Z ∣ −6 < x < −4} = {−5}
Atenção!
Dado qualquer conjunto , sempre vale que .

A ∅ ⊂ A
Conceitos matemáticos
Neste vídeo o professor Sandro Davisonapresentará outros exemplos desses
conceitos matemáticos. Vamos assistir!
Neste módulo, você aprendeu quatro definições básicas da Matemática acerca dos
conjuntos, especificamente a linguagem dos conjuntos. Sem esse conhecimento, não
seria possível avançarmos para o conteúdo que nos aguarda nos módulos seguintes.
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você
acabou de estudar.
Módulo 1 - Vem que eu te explico!
A história resumida da Teoria dos conjuntos
Módulo 1 - Vem que eu te explico!
Paradoxo: o que é?


Questão 1
Considere os conjuntos 
 e 
Avaliar as seguintes afirmativas:
I) A=B

Vamos praticar alguns
conceitos?
Falta pouco para
atingir seus
objetivos.
A = {x ∈ Z ∣ 5x + 4 ≤ 3x + 8},
B = {x ∈ N ∣ 2x − 5 < x − 4} C = {x ∈ Z ∣ −2 ≤ x < 2}.
B C
II) 
III) B é um conjunto vazio
Questão 2
Sejam A, B, C e D conjuntos não vazios. Analise o diagrama a seguir:
Podemos afirmar que:
B ⊂ C
A I e II corretas.
B Somente II correta.
C II e III corretas.
D Somente III correta.
E I e III corretas.
Responder
A e A ⊂ C D ⊃ B
B e B ⊃ C D ⊄ A
C e C ⊃ D B ⊂ A.
D e D ⊄ A C /B
E e D ⊃ B D ⊄ A
2
Operações entre os conjuntos
Ao final deste tópico, você será capaz de identificar as operações realizadas entre conjuntos.
Responder
Operações entre conjuntos
Vimos, no módulo anterior, as definições que caracterizaram a linguagem dos
conjuntos. Agora partiremos para o segundo passo de nosso estudo: as operações
entre conjuntos. Utilizaremos as representações vistas anteriormente para resolver
essas operações, identificando algumas de suas propriedades para reconhecer
geometricamente quais operações foram realizadas.
Seguiremos nosso mesmo modelo de apresentação do conteúdo: definição e
exemplificação.
De�nição 1
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Definimos:
1. A união dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que
pertencem a A ou a B, que representamos por:
2. A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos
que são comuns a A e a B simultaneamente, ou seja, é o conjunto formado pelos
elementos que pertencem a A e também pertencem a B. Esse conjunto é
representado por:
3. A diferença dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos
que pertencem a A, mas que não pertencem a B. Esse conjunto é representado
por:
A ∪ B = {x ∣ x ∈ A ou x ∈ B}.
A ∩ B = {x ∣ x ∈ A ∈ x ∈ B}
por:
No caso particular, onde , a diferença chama-se complementar de em
 e escrevemos:
4. O produto cartesiano A × B é o conjunto formado por todos os pares ordenados
da forma (x,y), onde x ∈ A e y ∈ B. Esse conjunto é representado por:
Vejamos alguns exemplos para entendermos tais conceitos.
Exemplo 1
Considere os conjuntos A = {0, 1, 3} e B = {−1, 0, 2, 3}. Vamos calcular:
Na união, tomamos todos os elementos que aparecem em cada conjunto. Logo:
 ou 
Note que ou
A − B = {x ∣ x ∈ A ∈ x ∉ B}
B ⊂ A A − B B
A
C
B
A
= A − B = {x ∣ x ∈ A ∈ x ∉ B}.
A × B = {(x, y) ∣ x ∈ A ∈ y ∈ B}.
A ∪ B, A ∩ B, A − B, B − A, A × BeB × A
A ∪ B = {x ∣ x ∈ A x ∈ B} = {−1, 0, 1, 2, 3}
B ∪ A {x ∣ x ∈ B x ∈ A} { 1 0 1 2 3} A ∪ B
Note que ou .
Como veremos posteriormente, sempre vale .
• Na interseção, tomamos apenas os elementos em comum. Portanto:
e 
Note que e
Como veremos posteriormente, sempre vale .
• Na diferença, tomamos apenas os elementos do primeiro conjunto que não
estão no segundo conjunto. Assim:
Note que , ou seja, nem sempre vale a igualdade.
• No produto cartesiano, tomamos todos os pares ordenados, sendo que a
primeira coordenada pertence ao primeiro conjunto (conjunto da esquerda) e a
segunda coordenada pertence ao segundo conjunto (conjunto da direta). Veja:
Como A = {0, 1, 3} e B = {−1, 0, 2, 3}, então:
Enquanto:
B ∪ A = {x ∣ x ∈ B x ∈ A} = {−1, 0, 1, 2, 3} = A ∪ B
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = {x ∣ x ∈ A x ∈ B} = {0, 3}
B ∩ A = {x ∣ x ∈ B x ∈ A} = {0, 3} = A ∩ B
A ∩ B = B ∩ A
(A − B) = {x ∣ x ∈ A e x ∉ B} = {1}
(B − A) = {x ∣ x ∈ B e x ∉ A} = {−1, 2}
A − B ≠ B − A
A × B = {(x, y) ∣ x ∈ A e y ∈ B} =
= {(0, −1), (0, 0), (0, 2), (0, 3),
(1, −1), (1, 0), (1, 2), (1, 3), (3, −1),
(3, 0), (3, 2), (3, 3)}.
B × A = {(x, y) ∣ x ∈ B e y ∈ A} =
= {(−1, 0), (−1, 1), (−1, 3), (0, 0),
Note que , ou seja, nem sempre vale a igualdade.
Veja mais um exemplo envolvendo essas operações com três conjuntos envolvidos.
Exemplo 2
Considere os conjuntos e
. Calcule as seguintes operações:
Primeiramente, vamos explicitar os conjuntos para facilitar nossas operações:
Agora vamos realizar as operações desejadas.
• Para solucionar - , primeiro resolvemos a parte entre parênteses
separadamente, ou seja:
 e após .
Observando os conjuntos dados, temos que:
(0, 1), (0, 3), (2, 0), (2, 1), (2, 3),
(3, 0), (3, 1), (3, 3)}.
A × B ≠ B × A
A = {x ∈ Z ∣ x ≤ 4}, B = {x ∈ Z ∣ x > −2}
C = {x ∈ N ∣ x < 7}
A − (B ∩ C), (A ∩ B) − C, (A ∪ C) ∩ B, (B − A) ∪ C
A = {x ∈ Z ∣ x ≤ 4} = {… − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}
B = {x ∈ Z ∣ x > −2} = {−1, 0, 1, 2, …}
C = {x ∈ N ∣ x < 7} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A (B ∩ C)
B ∩ C A − (B ∩ C)
 Note que 
Logo:
• Para solucionar , primeiro resolvemos a parte entre parênteses
separadamente, ou seja:
Observando os conjuntos dados, temos que:
Logo:
• Para solucionar , primeiro resolvemos a parte entre parênteses
separadamente, ou seja:
Observando os conjuntos dados, temos que:
B ∩ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} = C. ( C ⊂ B)
A − (B ∩ C) = {… , −3, −2, −1}
(A ∩ B) − C
A ∩ B e após (A ∩ B) − C. 
A ∩ B = {−1, 0, 1, 2, 3, 4}
(A ∩ B) − C = {−1}
(A ∪ C) ∩ B
A ∪ C e após (A ∪ C) ∩ B.
Logo:
• Para solucionar , primeiro resolvemos a parte entre parênteses
separadamente, ou seja:
Observando os conjuntos dados, temos que:
Logo:
Note que as operações anteriores foram realizadas utilizando a forma explícita dos
elementos de cada conjunto envolvido. Mas, dependendo dos conjuntos envolvidos,
essa representação pode não ser conveniente.
Assim, vamos analisar agora outra forma de trabalhar com esses conjuntos, utilizando
figuras no diagrama de Venn.
Observe que, geometricamente, dados dois conjuntos A e B, podemos representar a
união, a interseção e a diferença pelos diagramas abaixo:
A ∪ C = {… , −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
(A ∪ C) ∩ B = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(B − A) ∪ C
B - A e após (B − A) ∪ C. 
B − A = {5, 6, 7, …}
(B − A) ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}
No caso particular em que , a diferença é representada por:
Quando temos três ou mais conjuntos envolvidos, nossa representação geométrica
fica similar ao que realizaremos no exemplo a seguir.
Exemplo de representação geométrica
Assista ao exemplo no vídeo:
Nos exemplos, desenvolvemos várias operações entre os conjuntos, mas existem
muitas outras que podem ser realizadas, conforme veremos posteriormente. Agora,
B ⊂ A A − B = C
A
B

muitas outras que podem ser realizadas, conforme veremos posteriormente. Agora,
vamos listar algumas das principais propriedades que envolvem as operações entre
conjuntos.
Propriedades dos conjuntos
Propriedades da união
Dados os conjuntos A, B, C e D, temos:
1. .
2. .
3. , ou seja, a operação união é comutativa.
4. , ou seja, a operação união é associativa.
5. e .
�. .
Propriedades da interseção
Dados os conjuntos A, B, C e D, temos:
1. .
2. 
3. , ou seja, a operação união é comutativa.
4. , ou seja, a operação união é associativa.
5. e .
�. .
Na linguagem matemática significa: se, somente se.
A ∪ ∅ = A
A ∪ A = A
A ∪ B = B ∪ A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A ⊂ B C ⊂ D ⇒ (A ∪ C) ⊂ (B ∪ D)
A ∪ B = A ⇔ B ⊂ A
A ∩ ∅ = A
A ∩ A = A
A ∩ B = B ∩ A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
A ⊂ B C ⊂ D ⇒ (A ∩ C) ⊂ (B ∩ D)
A ∩ B = A ⇔ B ⊂ A
⇔
Propriedades da diferença
Considere os conjuntos e tais que . Temos:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
�. .
7. .
Você deve se lembrar que essas propriedades, como tantas outras afirmações no
campo da Matemática, não são meras determinaçõesde algum cientista matemático.
Todas as propriedades podem ser provadas algebricamente.
No entanto, por conta do objetivo de nosso módulo, mostraremos geometricamente a
validade de algumas das propriedades apresentadas.
• Vejamos a propriedade 5 da união e a propriedade 5 da interseção: em ambas,
temos que A e C . Isso pode ser representado geometricamente na
seguinte figura:
Assim, temos que:
A, B X A, B ⊂ X
A − ∅ = A
A − A = ∅
A − B = ∅ ⇔ A ⊂ B
A − B = A − (A ∩ B)
A ⊂ B ⇔ C
B
X
⊂ C
A
X
C
A∪B
X
= C
A
X
∩ C
B
X
C
A∩B
X
= C
A
X
∪ C
B
X
⊂ B ⊂ D
Isso nos mostra que .
E o diagrama a seguir nos mostra que .
• A propriedade 4 da diferença pode ser vista da seguinte maneira: representando
os conjuntos A e B pelo diagrama, podemos observar que:
Para a propriedade 5 da diferença, temos que e que . Isso pode ser
representado por:
(A ∪ C) ⊂ (B ∪ D)
(A ∩ C) ⊂ (B ∩ D)
A, B ⊂ X A ⊂ B
Assim, temos que:
Logo, nos mostra que .
Com essas propriedades, podemos explorar outros conceitos envolvendo conjuntos,
como, por exemplo, a quantidade de elementos que um conjunto possui.
De�nição 2
Seja A um conjunto finito qualquer (ou seja, um conjunto que possui uma quantidade
finita de elementos), a quantidade de elementos que o conjunto A possui é denotada
por:
C
B
X
⊂ C
A
X
Saiba mais
Se você quiser ver as demonstrações dessas propriedades, confira o capítulo 1
do livro Curso de Análise v.1 (2007), de Elon Lages Lima.

Em algumas bibliografias, o número de elementos de um conjunto A é denotado por
#A.
Antes de vermos o exemplo que nos ajudará a compreender esse conceito, queremos
levantar dois questionamentos, os quais serão respondidos mais à frente:
Dados dois conjuntos A, B quaisquer:
1. Será que vale ?
2. Será que vale ?
Vejamos agora um exemplo para nos ajudar a entender o conceito de n(A) e a
responder nosso questionamento.
Exemplo 3
Considere os conjuntos A = {−2, 1, 3, 4} e B = {−1,1, 3}. Calcule:
Note que:
• n(A) = 4, pois o conjunto A possui 4 elementos.
• n(B) = 3, pois o conjunto B possui 3 elementos.
Para responder aos demais questionamentos, vamos, primeiramente, determinar o
que são os conjuntos:
Sendo A = {−2, 1, 3, 4} e B = {−1, 1, 3}, então:
• 
• 
n(A).
n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
n(A − B) = n(A) − n(B)
n(A), n(B), n(A ∪ B), n(A ∩ B), n(A − B) e n(B − A)
A ∪ B, A ∩ B, A − B ∈ B − A
A ∪ B = {−2, −1, 1, 3, 4}, logo, n(A ∪ B) = 5
A ∩ B = {1, 3}, logo, n(A ∩ B) = 2
• 
• 
Então, você já pode responder aos nossos questionamentos?
Relembrando:
Dados dois conjuntos A, B quaisquer:
• Será que vale n(A ∪ B) = n(A) + n(B)?
• Será que vale n(A − B) = n(A) − n(B)?
Utilizando o exemplo 3, podemos perceber que:
 e 
Portanto, as perguntas 1 e 2 realizadas anteriormente têm resposta negativa, ou seja,
nem sempre valem as igualdades apresentadas nos questionamentos.
Propriedades de n(A)
Utilizando as propriedades das operações vistas anteriormente, vamos apresentar
algumas das principais propriedades para a quantidade de elementos de um conjunto.
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Então, valem as seguintes propriedades:
1. .
2. .
3. 
4. Se então .
Observe que, para entendermos essas propriedades, vamos relembrar os diagramas
vistos anteriormente que representam as operações entre os conjuntos A e B:
A − B = {−2, 4}, logo, n(A − B) = 2
B − A = {−1}, logo, n(B − A) = 1
n(A ∪ B) ≠ n(A) + n(B) n(A − B) ≠ n(A) − n(B)
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)
n(B − A) = n(B) − n(A ∩ B)
B ⊂ A
1
n(C
B
A
) = n(A − B) = n(A) − n(B)
• A propriedade decorre do fato que, quando
fazemos quantidade de elementos da interseção é
contada duas vezes (uma vez em e outra em .
• A propriedade decore da propriedade 4 da
diferença de conjuntos, pois .
• A propriedade também decore da propriedade 4 da
diferença de conjuntos, pois .
• A propriedade 4 é dada por: se , então .
E pode ser interpretada pelo seguinte diagrama:
Exemplo de propriedades de n(A)
Veja agora alguns exemplos envolvendo essas propriedades.
Observe que a operação de produto cartesiano tem mais aplicabilidade geométrica
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
n(A) + n(B), a n(A ∩ B)
n(A) n(B)
n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)
A B = A − (A ∩ B)
n(B − A) = n(B) − n(A ∩ B)
B − A = B − (A ∩ B)
B ⊂ A n(C
B
A
) = n(A − B) = n(A) − n(B)

quando trabalhamos com produto cartesiano entre intervalos da reta. Isso será visto
com mais detalhes no próximo módulo.
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você
acabou de estudar.
Módulo 2 - Vem que eu te explico!
Algumas palavras sobre ideias de provas e provas na teoria
dos conjuntos
Módulo 2 - Vem que eu te explico!
Distributividade entre conjuntos

Questão 1
(UFSM-RS) Dados os conjuntos 
 e produto dos elementos
que formam o conjunto é:
Questão 2
Dados os conjuntos A, B e C não vazios, considere o diagrama:

Vamos praticar alguns
conceitos?
Falta pouco para
atingir seus
objetivos.
A = {x ∈ N ∣ x é ímpar},
B = {x ∈ Z ∣ −2 < x ≤ 9} C = {x ∈ Z ∣ x ≥ 5}, 0
(A ∩ B) − C
A 1
B 3
C 15
D 35
E 0
Responder
A parte hachurada pode ser representada por:
3
Operações entre os intervalos da reta
Ao final deste módulo, você será capaz de resolver operações entre intervalos da reta.
A (A ∩ C) − B.
B (A − B) ∪ C.
C (A ∪ C) − B.
D AU(C − B).
E A ∪ C.
Responder
Operações com os intervalos da reta real
Neste módulo, trabalharemos exclusivamente com operações envolvendo os
intervalos da reta. Veremos que, para esses conjuntos particulares, as representações
geométricas na reta real são a melhor maneira de desenvolver as operações.
Lembramos a você que insistiremos em manter a estrutura de definição e exemplos,
por acreditarmos que ela facilita a compreensão dos conceitos matemáticos.
De�nição 1
Sejam . Os intervalos são tipos especiais de subconjuntos dos números reais
que são definidos por:
• Intervalo fechado:
• Intervalo fechado à esquerda:
• Intervalo fechado à direita:
a, b ∈ R
[a, b] = {x ∈ R ∣ a ≤ x ≤ b}
[a, b) = {x ∈ R ∣ a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ R ∣ a < x ≤ b}
• Intervalo aberto:
• Semirreta direita fechada de origem
• Semirreta direita aberta de origem a:
• Semirreta esquerda fechada de origem 
• Semirreta esquerda aberta de origem
• Reta real inteira:
Note que os termos fechado e aberto na definição significam, respectivamente, que:
O extremo do intervalo
pertence ao intervalo
considerado
Utiliza-se o termo fechado na
definição. O colchete
representa que o extremo
pertence ao intervalo.
O extremo do intervalo não
pertence ao intervalo
considerado
Utiliza-se o termo aberto na
definição. Os parênteses
representam que o extremo
não pertence ao intervalo.
Desse modo, para fazer operações entre intervalos da reta, é essencial tomarmos o
cuidado de destacar quando o extremo pertence ou não pertence ao intervalo.
Representação dos intervalos na reta
Agora veremos como representar geometricamente cada um dos intervalos
apresentados na definição 1. Como a grande diferença situa-se no(s) extremo(s) do
intervalo, utilizaremos:
Bolinhas fechadas no extremo
Quando ele pertence ao
intervalo.
Bolinhas abertas no extremo
Quando ele não pertence ao
intervalo.
Assim, a representação de cada intervalo será:
(a, b) = {x ∈ R ∣ a < x < b}
a : [a, +∞) = {x ∈ R ∣ a ≤ x}
(a, +∞) = {x ∈ R ∣ a < x}
b : (−∞, b] = {x ∈ R ∣ x ≤ b}
b : (−∞, b) = {x ∈ R ∣ x < b}
(−∞, +∞) = R


A seguir, apresentaremos vários exemplos de operações realizadas entre intervalos.
Exemplo 1
Considere os intervalos e . Vamos
calcular:
A resolução dessas operações ocorre do seguinte modo:
Representamos geometricamente os intervalos envolvidos na
operação um abaixo do outro (colocando os extremos do intervalo
seguindo a ordem crescente da reta, ou seja, crescimento da
esquerda para a direita) e abaixo da representação desses dois
intervalos colocamos uma terceira reta realpara marcar o
resultado da operação.
Veja caso a caso.
• : como a união é formada utilizando todos os elementos dos conjuntos,
temos a seguinte representação:
A = [−2, 3), B = (−1, 4), C = (−∞, 2] D = [−3, 1)
A ∪ B, A ∩ B, A − B, B − A, A ∩ C, C − D, D − C.
A ∪ B
Logo, .
• A B: como a interseção é formada apenas pelos elementos comuns aos dois
conjuntos, temos a seguinte representação:
Note que as bolinhas em -1 e em 3 são abertas, pois , portanto, e
. Logo, .
• A − B: vamos considerar apenas os elementos que estão em A, mas que não
pertencem a B. Temos a seguinte representação:
Note que em a bolinha em é fechada, pois , mas . Portanto,
 B. Logo, .
• B - A: vamos considerar apenas os elementos que estão em B, mas que não
pertencem a A. Temos a seguinte representação:
A ∪ B = [−2, 4)
∩
−1 ∉ B, 3 ∉ A −1
3 ∉ A ∩ B A ∩ B = (−1, 3)
A − B −1 −1 ∈ A −1 ∉ B
−1 ∈ A− A − B = [−2, −1]
Note que em B - A a bolinha em 3 é fechada, pois , mas . Portanto,
. Logo, .
• A C: como a interseção é formada apenas pelos elementos comuns aos dois
conjuntos, temos a seguinte representação:
Note que as bolinhas são fechadas em e 2, pois C. Portanto,
 e . Logo, .
• C − D: vamos considerar apenas os elementos que estão em C, mas que não
pertencem a D. Temos a seguinte representação:
Note que em temos duas partes onde a bolinha está aberta em , pois 
e .
Logo, . A bolinha em fica fechada, pois e .
Portanto, . Como ficou dividido em duas partes, escrevemos 
como a união das duas partes:
3 ∉ A 3 ∈ B
3 ∈ B − A B − A = [3, 4)
∩
−2 −2, 2 ∈ A ∈ −2, 2 ∈
−2 2 ∈ A ∩C A ∩ C = [−2, 2]
C − D −3 −3 ∈ C
−3 ∈ D
−3 ∉ C − D 1 1 ∈ C 1 ∉ D
1 ∈ C − D C − D C − D
D - C: vamos considerar apenas os elementos que estão em D, mas que não
pertencem a C. Observe que, nesse caso, temos . Logo, todos os elementos de
D também estão em C, ou seja, não existem elementos que estão em D, mas que não
pertencem a C. Portanto:
D − C = { } (conjunto vazio).
Outra forma de ver que é utilizando a propriedade da diferença vista no
módulo 2:
Exemplo 2
Vamos considerar os mesmos intervalos do exemplo 1, ou seja:
Agora calcularemos as seguintes operações entre esses conjuntos:
C − D = (−∞, −3) ∪ [1, 2]
D ⊂ C
D − C = {}
D − C = {} ⇔ D ⊂ C
Atenção!
Quando existem mais do que dois conjuntos envolvidos em operações,
analisamos as operações em etapas de dois a dois, sempre trabalhando
inicialmente de dentro dos parênteses para fora, como mostraremos no próximo
exemplo.

A = [−2, 3), B = (−1, 4), C = (−∞, 2] e D = [−3, 1)
• Para resolver - , primeiro resolvemos a parte entre parênteses
separadamente, ou seja:
Como já vimos no exemplo 1, sabemos que:
Assim, podemos realizar a operação desejada, , pela seguinte figura:
Note que a bolinha em -1 é fechada, pois , mas .
No exemplo 1, vimos que , ou seja, ,
conforme já havíamos visto nas propriedades da diferença no módulo 
• Para resolver , primeiro resolvemos as partes entre parênteses
separadamente, ou seja:
A − (A ∩ B), (A ∪ B) − (A ∩ B), D − (C ∩ A), (D − C) ∩ A
A (A ∩ B)
A ∩ B e após A − (A ∩ B). 
A ∩ B = (−1, 3)
A − (A ∩ B)
−1 ∈ A −1 ∉ A ∩ B
 Portanto, 1 ∈ A − (A ∩ B). Logo, A − (A ∩ B) = [−2, −1]. 
A − B = [−2, −1] A − B = [−2, −1] = A − (A ∩ B)
2.
(A ∪ B) − (A ∩ B)
Como já fizemos essas operações no exemplo 1, sabemos que:
Agora podemos realizar a operação desejada, , pela seguinte figura:
Note que, na última reta, e 3 estão com bolinha fechada, pois , mas
. Logo,
• Para resolver - , primeiro resolvemos a parte entre parênteses
separadamente, ou seja:
Pelo exemplo 1, sabemos que . Assim, como vimos no módulo 2,
temos que:
Agora podemos realizar a operação desejada, , da seguinte forma:
A ∪ B e após A ∩ B. 
A ∪ B = [−2, 4) e A ∩ B = (−1, 3)
(A ∪ B) − (A ∩ B)
−1 −1, 3 ∈ A ∪ B
−1, 3 ∉ A ∩ B
(A ∪ B) − (A ∩ B) = [−2, −1] ∪ [3, 4)
D (C ∩ A)
C ∩ A e após D − (C ∩ A)
A ∩ C = [−2, 2]
C ∩ A = A ∩ C = [−2, 2]
D − (C ∩ A)
Note que, na última reta, -2 está com bolinha aberta, pois e , então:
Logo:
• Para resolver , primeiro resolvemos a parte entre parênteses
separadamente, ou seja:
 e após .
Pelo exemplo 1, sabemos que D − C = { }. Logo, como vimos no módulo 2, temos que:
Logo, é vazio.
Observe que o exemplo anterior mostra claramente que:
−2 ∈ D −2 ∈ A ∩ C
−2 ∉ D − (A ∩ C)
D − (C ∩ A) = [−3, −2)
(D − C) ∩ A
D − C (D − C) ∩ A
(D − C) ∩ A = {} ∩ A = {}.
(D − C) ∩ A = {}
D − (C ∩ A) = [−3, −2) ≠ (D − C) ∩ A = {}
Perceba que é muito importante respeitar e distinguir a ordem de resolução das
operações.
Exemplo 3
Veja o exemplo 3 no vídeo a seguir.
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você
acabou de estudar.
Módulo 3 - Vem que eu te explico!
Classificação dos intervalos na reta numérica
Módulo 3 - Vem que eu te explico!
Exercício sobre operações com intervalos (distributiva)


Questão 1
Dados os intervalos podemos afirmar
que é dado por:

Vamos praticar alguns
conceitos?
Falta pouco para
atingir seus
objetivos.
A = (−5, 2], B = [−6, 4], C = (−∞, 2),
A ∪ (B ∩ C)
A [-6,2]
B [-6,2)
Questão 2
Dados os intervalos A = [−1, 3) B = (1, 5) e C = (1, 3), qual dos itens abaixo
representa o conjunto (A − B) × C ?
B [-6,2)
C (−∞, 4]
D (−∞, 4)
E (−∞, 2]
Responder
A a.
B b.
C c.
D d.
E e.
Responder
4
Conjuntos e problemas do cotidiano
Ao final deste módulo, você será capaz de resolver problemas do cotidiano utilizando conjuntos.
Aplicações da teoria de conjuntos
Chegamos ao nosso último módulo. Como você sabe, nosso objetivo é a
aplicabilidade dos conceitos aprendidos anteriormente, seja no âmbito da resolução
de problemas cotidianos, ou na solução de questões geralmente cobradas em
concursos públicos.
Aqui você perceberá, portanto, a falta do item definição, já que vamos recuperar os
conceitos apresentados nos módulos anteriores mais alguns exemplos para ajudá-lo a
seguir em frente nesse processo de compreensão dos conjuntos matemáticos.
Exemplo 1 - Adaptado da UNESP
Em um estudo de grupos sanguíneos humanos, realizado com 1000 pessoas,
constatou-se que 470 tinham o antígeno A, 230 tinham o antígeno B e 450 não tinham
nenhum dos dois antígenos. Determine o número de pessoas que possuem os
antígenos A e B simultaneamente.
Vamos, inicialmente, extrair as informações do enunciado. Chamando de:
1. X o conjunto de todas as pessoas do estudo;
2. A o conjunto das pessoas com antígeno A;
3. B o conjunto das pessoas com antígeno B;
Podemos formar a seguinte figura:
Pelo enunciado, temos que:
4. X possui 1000 pessoas, A possui 470 pessoas, B possui 230 pessoas;
5. Dentro do conjunto X, mas fora de ambos os conjuntos A e B existem 450
pessoas.
Completando a figura com essas informações, temos:
Precisamos encontrar a quantidade de pessoas que possuem os antígenos A e B,
simultaneamente, ou seja:
�. Queremos saber a quantidade y de pessoas presentes no conjunto .
Colocando y na parte correspondente a e utilizando a figura anterior, podemos
formar o seguinte diagrama:
• Note que o conjunto A está dividido em 2 partes. A parte correspondente à
interseção possui y pessoas. Como A tem 470 pessoas, então a outra
A ∩ B
A ∩ B
A ∩ B
interseção possui y pessoas. Como A tem 470 pessoas, então a outra
parte do conjunto A possuirá 470- y pessoas, fornecendo a figura a seguir
• Da mesma forma, o conjunto B está dividido em 2 partes. A parte
correspondente à interseção A B possui y pessoas. Como B tem 230 pessoas,
então a outra parte do conjunto B possuirá 230 - y pessoas, fornecendo a
seguinte figura:
Assim, podemos ver que o conjunto X foi dividido em quatro partes:
• Uma parte fora dos conjuntos A, B;
• Duas partes dentro do conjunto A;
• Mais uma parte dentro do conjunto B.
Logo, o total de pessoas do conjunto X (ou seja, 1000) é obtido somando a quantidade
de pessoas (números na cor preta) dessas quatro partes, por meio do seguinte
cálculo:
A ∩ B
∩
450 + (470− y) + y + (230 − y) = 1000 ⇒
920 − y + y + 230 − y = 1000 ⇒ 920 + 230 − y = 1000 ⇒
1150 − y = 1000 ⇒ −y = 1000 − 1150 ⇒ −y = −150 ⇒
y = 150
Portanto, y = 150 é a quantidade de pessoas desse grupo com os antígenos A e B
simultaneamente.
Exemplo 2
Em uma escola, foram oferecidas aulas de reforço para Física e Matemática. Feito um
levantamento em uma turma com 48 alunos, obteve-se que 22 alunos querem reforço
em Matemática, 28 querem reforço em Física e 10 querem reforço em ambas as
matérias. Para essa turma, determine:
1. Quantos alunos querem reforço apenas em Matemática?
2. Quantos alunos querem reforço apenas em Física?
3. Quantos alunos querem reforço em pelo menos uma matéria?
4. Quantos alunos não querem reforço em nenhuma matéria?
5. Quantos alunos querem reforço em, no máximo, uma matéria?
Vamos, inicialmente, extrair as informações do enunciado. Chamando de:
• X o conjunto de todos os alunos dessa turma;
• F o conjunto dos alunos que querem reforço em Física;
• M o conjunto dos alunos que querem reforço em Matemática.
Podemos formar a seguinte figura:
Pelo enunciado, temos que:
• X possui 48 alunos, M possui 22 alunos, F possui 28 alunos e M F possui 10
alunos.
Completando a figura com essas informações, temos:
∩
Assim como vimos no exemplo 1, podemos perceber que os conjuntos M e F foram
divididos em duas partes e o conjunto X foi dividido em quatro partes. Utilizando os
valores que temos na figura anterior, podemos completar os conjuntos M e F da
seguinte maneira:
Agora, vamos resolver os questionamentos.
1. Quantos alunos querem reforço apenas em Matemática?
12 alunos, pois observando a figura anterior, podemos ver que, dentre os 22 alunos
que querem reforço de Matemática, somente 12 querem reforço apenas em
Matemática.
2. Quantos alunos querem reforço apenas em Física?
18 alunos, pois observando a figura anterior, podemos ver que, dentre os 28 alunos
que querem reforço de Física, apenas 18 querem reforço apenas em Física.
3. Quantos alunos querem reforço em pelo menos uma matéria?
Os alunos que querem reforço em pelo menos uma disciplina formam exatamente o
conjunto . Pela figura, essa união possui:
12 + 10 + 18 = 40 alunos.
M ∪ F
4. Quantos alunos não querem reforço em nenhuma matéria?
Os alunos que não querem reforço em nenhuma matéria são exatamente aqueles que
estão fora de . Como tem 48 alunos e em M U F tem 40 alunos (como vimos
na letra (c)), então a quantidade y que está fora de é:
y = 48 − 40 = 8 alunos.
5. Quantos alunos querem reforço em, no máximo, uma matéria?
Dizer que o aluno quer reforço em no máximo uma matéria significa que o aluno: ou
quer reforço em apenas uma matéria, ou não quer reforço em nenhuma matéria.
Analisando a figura, destacamos os alunos que querem reforço em apenas uma
matéria e os que não querem reforço em nenhuma matéria.
Assim, a quantidade de alunos que querem reforço em, no máximo, uma matéria, é
dada por:
12 + 18 + 8 = 38 alunos.
Outra forma de analisar esse caso é:
• Os alunos que querem reforço em, no máximo, uma matéria, correspondem ao
total de alunos da turma , exceto aqueles que querem reforço nas duas
matérias :
48 − 10 = 38 alunos.
M ∪ F X
M ∪ F
(X = 48)
(M ∩ F = 10)
Nos exemplos anteriores, trabalhamos casos com apenas dois conjuntos dentro do
conjunto principal. Vamos analisar agora problemas com três ou mais conjuntos
dentro do conjunto X.
Exemplo 3
Uma população consome 3 marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de
mercado, colheram-se os seguintes resultados tabelados.
Sendo assim:
1. Determine o número de pessoas que consomem apenas a marca C.
2. Determine o número de pessoas que consomem apenas uma das marcas.
3. Determine o número de pessoas que consomem exatamente duas marcas.
4. Determine o número de pessoas consultadas.
Vamos, inicialmente, extrair as informações do enunciado. Chamando de:
• X o conjunto de todas as pessoas consultadas.
• A, B e C os conjuntos das pessoas que consomem as marcas A, B e C,
respectivamente.
Assim, podemos formar a figura a seguir:
Observe que o conjunto X ficou dividido em várias partes, e os conjuntos A, B e C
estão divididos em quatro partes.
Pela tabela, temos as seguintes informações com relação ao número de
consumidores:
• 
• 
• 
Para resolvermos problemas como este, vamos anotar inicialmente: a quantidade nos
conjuntos maiores e C), a quantidade fora da união ) e a
quantidade no menor conjunto que é a interseção dos .
Assim, utilizando o primeiro e o terceiro item acima, podemos preencher a figura
anterior da seguinte maneira:
Agora, utilizando o segundo item acima ,
podemos completar os seguintes espaços:
Como sabemos que A = 105, B = 200, C = 160, podemos finalizar a figura analisando a
X =?, A = 105, B = 200, C = 160
A ∩ B = 25, B ∩ C = 40, A ∩ C = 25
A ∩ B ∩ C = 5eX − (A ∪ B ∪ C) = 120
(X, A, B (X − (A ∪ B ∪ C)
3(A ∩ B ∩ C)
(A ∩ B = 25, B ∩ C = 40, A ∩ C = 25)
Como sabemos que A = 105, B = 200, C = 160, podemos finalizar a figura analisando a
quantidade que já está em cada conjunto e verificando quanto falta em cada conjunto.
Sendo assim, obtemos a figura:
Agora, vamos resolver os questionamentos.
1. Determine o número de pessoas que consomem apenas a marca C.
100 pessoas, pois, dentre as 160 pessoas que consomem a marca C, podemos ver na
figura que 100 delas não consomem outra marca.
2. Determine o número de pessoas que consomem apenas uma das marcas.
Fazendo uma análise semelhante à letra (a), podemos ver que:
• A quantidade de pessoas que só consomem a marca A é 60.
• A quantidade de pessoas que só consomem a marca B é 140.
• Pela letra (a), a quantidade de pessoas que só consomem a marca C é 100.
Logo, a quantidade de pessoas que consomem apenas uma das marcas é dada por:
60 + 140 + 100 = 300 pessoas.
3. Determine o número de pessoas que consomem exatamente duas marcas.
Para isso, temos que analisar a quantidade de pessoas presentes nas interseções e
em apenas dois conjuntos. Destacamos essas quantidades na figura abaixo:
Logo, a quantidade de pessoas que consomem exatamente duas marcas é dada por:
20 + 20 + 35 =75 pessoas.
4. Determine o número de pessoas consultadas.
A quantidade de pessoas consultadas é o total da soma de todos os valores da figura,
ou seja:
X = 120 + 60 + 20 + 5 + 20 + 140 + 35 + 100 = 500 pessoas.
Quando há 4 conjuntos (A, B, C, D) contidos em um conjunto X, a análise é similar
àquela que realizamos no exemplo 4.3, porém a análise geométrica é mais sofisticada.
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você
acabou de estudar.
Módulo 4 - Vem que eu te explico!
Aplicação da teoria dos conjuntos no cotidiano
Módulo 4 - Vem que eu te explico!
Técnica para resolução de problemas de conjuntos

Questão 1
(FCC - 2019) Um grupo é formado por 410 ciclistas, dos quais 260 praticam
natação e 330 correm regularmente. Sabendo que 30 ciclistas não nadam e não
correm regularmente, o número de ciclistas que praticam natação e correm
regularmente é:

Vamos praticar alguns
conceitos?
Falta pouco para
atingir seus
objetivos.
A 170
Questão 2
Em uma pesquisa realizada com todas as pessoas de uma pequena cidade sobre a
leitura dos jornais A, B e C, obteve-se que 28% das pessoas leem o jornal A, 35%
leem o jornal B, 23% leem o jornal C, 15% leem os jornais A e B, 8% leem os jornais
B e C, 12% leem os jornais A e C e 5% leem os três jornais. Qual é o percentual das
pessoas dessa cidade não leem nenhum dos jornais?
Considerações �nais
Conforme vimos ao longo deste tema, existem várias maneiras de se trabalhar com
B 150
C 190
D 200
E 210
Responder
A 44%
B 43%
C 34%
D 33%
E 0%
Responder
Conforme vimos ao longo deste tema, existem várias maneiras de se trabalhar com
conjuntos, sendo que o melhor método a ser utilizado depende dos conjuntos
envolvidos. As operações realizadas entre conjuntos fornecem diversas informações
de dados pertinentes,de acordo com aquilo que se deseja saber a respeito ou de
acordo com o que se espera sobre determinadas informações.
No caso particular em que os conjuntos são intervalos da reta, as operações entre
intervalos geram novos conjuntos, mas isso é assunto para outro momento do seu
estudo matemático! Finalmente, utilizamos todos os conceitos e todas as operações
de conjuntos para resolvermos vários problemas do cotidiano, assim como questões
comuns em concursos para diversos setores da sociedade.
Podcast
Agora com a palavra o professor Marcelo Rainha, contando um pouco mais
sobre a relação entre os conjuntos e o nosso cotidiano. Vamos ouvir!
00:00 15:30
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Matemática.
Referências
GIOVANNI, J. R; BONJORNO, J.R; GIOVANNI Jr., J.R. Matemática Fundamental - Uma
Nova Abordagem. Volume único. São Paulo: FTD, 2002.
GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2011.
LIMA, E. L. Curso de análise. v.1, 12. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007.
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