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Processamento Digital de Sinais Pag 13 ESPECTRO DE FREQUÊNCIA Um sinal periódico pode ser representado como uma soma de sinusóides de diferentes frequências, amplitudes e fases. Esta forma de representação chama-se Série de Fourier. A série de Fourier pode estar na forma trigonométrica ou na forma exponencial. A série trigonométrica tem a forma: ���� = �� + � cos � + � sin � + �� cos 2 � + �� sin 2 � +⋯ ���� = �� +���� cos � � + �� sen � �� � �� Os coeficientes de Fourier são determinados pelas integrais: �� = � � ������� � �� = � � � ���� cos � � ��� � �� = � � � ���� sen � � ��� � Esta forma pode ser convertida para a seguinte forma compacta: ���� = �� + � cos� � + � � + �� cos�2 � + ��� + � cos�3 � + � � + ⋯ = �� +��� cos�� � + ��� � �� Onde: �� = "��� + ��� �� = �#��$ %&'()( * �� = �� A série exponencial tem a forma: ���� = ⋯+ +,&�-&.�/0 + +,& -&./0 + +,� + +, -./0 + +,�-.�/0 +⋯ = � +,�-.�/0 & ��&� + +,� +�+,�-.�/0 � �� Os coeficientes ��, +,� chamam-se Coeficientes de Fourier. Os coeficientes exponenciais são determinados por: +,� = � � ����-&.�/0��� � +,� = �1 � ����-&.�/0� ��1 � A relação entre os coeficientes exponenciais e trigonométricos é: +,� = �� +,� = � ��� − 3��� +,&� = � ��� + 3��� �� = +,� + +,&� �� = 34+,� − +,&�5 Processamento Digital de Sinais Pag 14 A correspondência entre a série trigonométrica e a série exponencial resulta da fórmula de Euler: -.6 = cos� + 3 sin� Para um sinal não periódico, em vez da série de Fourier, usa-se a Transformada de Fourier. Nesse caso considera-se a função não periódica como uma função periódica de período igual a infinito. Substituindo os coeficientes na série exponencial de Fourier, com 7 → ∞ e → 0 , o somatório transforma-se em integral: ���� = 1 2< = >� � � &� -./0� Esta expressão é análoga à série de Fourier para um sinal não periódico. Tem a designação de Transformada Inversa de Fourier. Os respectivos coeficientes F(ω) são dados pela expressão: >� � = = ���� � &� -&./0�� Esta expressão é a Transformada de Fourier da função f(t). Um gráfico das amplitudes em função das frequências num sinal chama-se espectro de amplitude. O gráfico das fases em função das frequências chame-se espectro de fase. Os dois espectros juntos chamam-se espectro de frequência do sinal. Cada componente de frequência do sinal chama-se harmónica (1ª harmónica, 2ª harmónica, 3ª harmónica, etc). Conhecendo o espectro de frequência pode-se reconstruir o sinal. O espectro é uma forma de representação do sinal. O espectro da série exponencial tem duas partes, com metade das amplitudes da série trigonométrica. Para obtê-lo é preciso determinar os módulos e as fases dos coeficientes complexos: +,&� = ?+,�?-&.6( +,� = ?+,�?-.6( ?+,&�? = ?+,�? = � �� O espectro trigonométrico é desenhado a partir da série trigonométrica compacta. O espectro exponencial é desenhado a partir da série exponencial. O espectro da série de Fourier é discreto. Tem componentes separadas por intervalos. Processamento Digital de Sinais Pag 15 O espectro da transformada de Fourier é contínuo. Não tem intervalos vazios entre frequências vizinhas. A parte negativa do espectro exponencial não tem significado físico. As verdadeiras frequências do sinal são apenas a parte positiva. Entretanto a parte negativa do espectro é necessária na representação do espectro por razões matemáticas. Portanto a ciência dos espectros significa que os sinais existentes na natureza podem ser vistos como uma sobreposição de sinais sinusoidais (ou exponenciais) de diferentes frequências. A faixa de frequências que um determinado sinal ocupa no espectro chama-se largura de banda do sinal. E4 – Um sinal tem a seguinte série trigonométrica: ���� = 5 + 9 cos %10� + < 2* + 4 cos�20� − <� + 2 cos %30� + < 3* a) Quais são os coeficientes de Fourier do sinal? b) Quais são as fases das componentes? c) Desenhe o espectro de amplitude do sinal. d) Desenhe o respectivo espectro exponencial. e) É um espetro contínuo ou discreto? f) Quais são as frequências do sinal? E5 – Um sinal x(t) tem o espectro abaixo. a) É um espectro contínuo ou discreto? b) É um espectro exponencial ou trigonométrico? Desenhe a outra opção. c) Quais são as frequências do sinal? d) Qual é a largura de banda do sinal? Processamento Digital de Sinais Pag 16 CONCEITO DE FILTRO Filtro - é um sistema selectivo em termos de permissão de passagem de frequências. Filtro passa-baixa – é um sistema que permite a passagem de componentes de baixa frequência dum sinal e bloqueia as altas frequências. Filtro passa-alta – é um sistema que deixa passar as altas frequências e bloqueia as baixas frequências. Filtro passa-faixa – é um sistema que permite a passagem duma determinada faixa de frequências e bloqueia as outras frequências mais altas e mais baixas. MULTIPLEXAÇÃO POR DIVISÃO DE FREQUÊNCIA Num mesmo canal é possível transmitir simultaneamente vários sinais de informação. O canal de transmissão pode ser por exemplo, fio condutor, cabo coaxial, fibra óptica, ar (ondas de rádio). Cada sinal deve ser modulado numa frequência portadora diferente. Deve-se salvaguardar um espaço de separação entre os espectros dos diferentes sinais para evitar interferência. Cada receptor selecciona a faixa do sinal pretendido através de um filtro passa-faixa. Esse processo designa-se por multiplexação por divisão de frequência. AMOSTRAGEM Um sinal de tempo contínuo pode ser processado por um sistema de tempo discreto. Para tal, o sinal contínuo deve ser discretizado através da retirada de suas amostras em intervalos de tempo regulares. A amostragem é o procedimento através do qual um sinal analógico pode ser convertido para digital.