Matemática-01-Moderna-Plus-0346-0348

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P1. em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer são congruentes.
P2. O ponto de cruzamento das diagonais de um paralelogramo é o ponto médio de cada 
uma delas.
P3. em todo paralelogramo, dois ângulos consecutivos quaisquer são suplementares.
P4. em todo paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.
P5. As diagonais de um retângulo são congruentes.
P6. As diagonais de um losango são perpendiculares entre si e estão contidas nas bisse-
trizes dos ângulos internos do losango.
Propriedades dos quadriláteros notáveis
A B
D C
A B
D C
M
A
β
α
B
D C
A
β
βα
α
B
D C
A
D C
B
D
B
A C
a 1 d 5 180w
AC 5 BD
EXERCÍCIOs REsOlvIdOs
334
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CAP 10.indb 334 03.08.10 13:12:54
 As bases médias NM e PQ dos triângulos ABC e XBC, relativas à base BC, são congruentes e parale-
las, pois cada uma delas é paralela a BC e mede metade de BC. Assim, o quadrilátero MNPQ é um 
paralelogramo, pois ele tem dois lados paralelos e congruentes: NM e PQ
 Logo, X é o ponto médio de cada uma das diagonais PM e QN, portanto, CX 5 2 3 XN e BX 5 2 3 XM.
 Pelo mesmo raciocínio, considerando, agora, as duas medianas AO e BM, que se cruzam no ponto 
Y, deduzimos que AY 5 2 3 YO e BY 5 2 3 YM. Com isso, concluímos que os pontos X e Y coincidem 
e, portanto, as três medianas se cruzam em um mesmo ponto que divide cada uma delas na razão 
2 para 1.
 (Nota: O ponto de encontro das três medianas é chamado de baricentro do triângulo (ou centro de 
gravidade do triângulo). É usual indicar esse ponto por G.)
 Considere também os pontos médios P e Q dos segmentos XB e XC, respectivamente, conforme a 
figura abaixo:
Notas:
1. Todas as propriedades válidas para o paralelogramo valem para o retângulo e o losango, pois 
esses quadriláteros são também paralelogramos.
2. Todas as propriedades válidas para o retângulo e o losango valem também para o quadrado, 
pois esse quadrilátero é também retângulo e losango.
7 As propriedades P1 a P6 dos quadriláteros notáveis podem ser demonstradas pela congruência de 
triângulos. Demonstrar a propriedade P1: “Em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer 
são congruentes”.
8 Provar que as três medianas de um triângulo interceptam-se em um mesmo ponto que divide cada 
mediana, a partir do vértice, na razão 2 para 1. (Ou seja, a distância desse ponto a um vértice do 
triângulo é o dobro da distância dele ao ponto médio do lado oposto a esse vértice.)
EXERCÍCIOs REsOlvIdOs
Resolução
 Consideremos um paralelogramo ABCD e a diagonal BD. 
Resolução
 Em um triângulo qualquer ABC, consideremos as duas medianas BM e CN, que se cruzam em um 
ponto X.
A B
D C
A
B C
MN
X
A
B C
MN
P Q
X
 Temos:
 I. DBC & BDA, pois são ângulos alternos internos formados por duas paralelas e uma transversal.
 II. BD é lado comum aos triângulos ADB e CBD.
 III. BDC & DBA, pois são ângulos alternos internos formados por duas paralelas e uma transversal.
 As condições (I), (II) e (III) caracterizam o caso ALA de congruência de triângulos; logo, :ADB & :CBD. 
Dessa congruência, concluímos que AB & DC e AD & BC, ou seja, os lados opostos do paralelogramo 
são congruentes.
335
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CAP 10.indb 335 03.08.10 13:12:55
23 No losango ABCD, abaixo, calcule a medida do ângulo ABC.
A
D
3x � 10°
2x
C
B
18 O perímetro do trapézio isósceles representado a seguir é 32 cm e suas bases AB e CD medem 8 cm e 
14 cm, res pectivamente. 
19 Em um trapézio retângulo, a medida do maior ângulo interno é o dobro da medida do menor ângulo 
interno. Quais são as medidas desses dois ângulos?
20 Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações:
a) Em qualquer paralelogramo, as diagonais são congruentes entre si.
b) Em todo paralelogramo, cada diagonal passa pelo ponto médio da outra diagonal.
c) Cada diagonal de um paralelogramo qualquer está contida na bissetriz de dois ângulos internos 
opostos desse paralelogramo.
d) As diagonais de qualquer retângulo dividem-no em quatro triângulos congruentes entre si.
e) As diagonais de qualquer losango dividem-no em quatro triângulos congruentes entre si.
f ) As diagonais de qualquer losango dividem-no em quatro triângulos retângulos.
g) Se as diagonais de um quadrilátero são perpendiculares entre si, então esse quadrilátero é um 
losango.
h) Se as diagonais de um retângulo são perpendiculares entre si, então esse retângulo é um qua-
drado.
i ) Se os quatro lados de um paralelogramo têm medidas iguais, então as diagonais desse parale-
logramo têm medidas iguais.
EXERCÍCIOs pROpOstOs
Resolva os exercícios complementares 11 a 13.
 Calcule:
a) as medidas dos lados não paralelos desse trapézio.
b) as medidas das projeções ortogonais dos lados não paralelos sobre a base maior.
c) a medida da altura desse trapézio.
21 O quadrilátero representado a seguir é um paralelogramo. Determine a medida do ângulo ABC.
22 No paralelogramo ABCD abaixo, tem-se AC 1 BD 5 28 cm. Calcule a soma EB 1 EC. 
A
D C
B
A
E
D C
B
A
D
2x � 5°
5x
C
B
EXERCÍCIO REsOlvIdO
336
C
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