AULA 2 DESCONTO SIMPLES

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UFRRJ - DCAC - 2013 (Notas de Aula) AULA 2: DESCONTO SIMPLES 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
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AULA 2 
DESCONTO SIMPLES 
 
 
Todos os direitos autorais reservados à 
 MARCIA REBELLO DA SILVA 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVOS: 
 Ao final desta unidade, você será capaz de: 
 
1- Entender e compreender o conceito de desconto simples; 
2- Entender o conceito de valor nominal, valor atual e prazo de antecipação de um título; 
 
3- Entender os conceitos envolvendo o desconto racional ou ‟por dentro” e o desconto 
comercial ou ‟por fora” no regime de capitalização simples; 
 
4- Interpretar e resolver os problemas propostos de desconto simples. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1- INTRODUÇÃO 
O Desconto é o abatimento na prestação de um serviço seja em decorrência da compra de 
grandes quantidades, seja devido a condições especiais de pagamento ou de promoções; nestes 
casos o desconto é uma operação comercial. O Desconto também pode ser associado a uma 
operação financeira neste caso, é realizado com título de crédito. 
Quando o desconto é associado a uma operação financeira é o abatimento no valor declarado 
de um título de crédito devido antecipação do resgate. O detentor do título dirige-se a uma 
instituição financeira e o negocia, recebendo uma importância menor do que receberia se a 
aguardasse a quitação na data de vencimento. 
No mercado financeiro é comum a realização destas operações com base em um valor futuro 
determinado, como o caso de letras de câmbio, cheques pré-datados e outros títulos de crédito. 
 
TÍTULOS DE CRÉDITOS: são instrumentos jurídicos, reconhecido pela legislação em vigor, 
por intermédio do qual o emitente se compromete a efetuar o pagamento da importância nele 
declarada, na data prevista do vencimento. Os títulos de créditos que podem ser descontados a saber 
são: 
 
 Notas Promissórias: são documentos comuns entre pessoas físicas, podendo também ser 
emitidas por pessoas jurídicas ou em favor de instituições. São títulos de crédito, que correspondem 
a uma promessa de pagamento, em que vão especificados: o valor nominal ou a quantia a ser paga 
(dívida inicial, geralmente acrescida de juros), data de vencimento do título, nome e assinatura do 
devedor, nome do credor e da pessoa que deverá receber a importância a ser paga. 
 
Duplicatas: são emitidas por firmas contra seus clientes (pessoas físicas ou jurídicas) para 
quem venderam mercadorias ou prestaram serviços a prazo. As duplicatas devem constar o aceite 
do cliente, a data de vencimento, o valor nominal, o nome de quem deverá pagar e o nome da 
pessoa a quem deverá pagar. As duplicatas só são legais se forem feita tendo por base a nota fiscal. 
 
Letras de Câmbio: são emitidas por empresas, com aceite de uma sociedade de crédito, 
financiamento e investimento. São colocadas no mercado para captar recursos para serem aplicados 
no próprio mercado em forma de financiamentos, pelos quais são cobrados taxas de juros maiores 
do que aquelas pagas aos portadores das letras de câmbio. As letras de câmbio tem especificados: o 
valor de resgate (valor nominal mais os juros); a data de vencimento do título; e quem deve pagar. 
 Esses títulos sempre tem um valor declarado que é o valor nominal (ou valor de face) que 
representa o valor que deve ser pago na data de vencimento, que também vem declarada. 
Mas, existem outros conceitos que precisamos saber. 
 
 
2- CONCEITOS 
2.1- Valor Nominal 
 Valor Nominal é o valor de ‟face” de um título de crédito ou compromisso com vencimento 
para uma data futura (valor futuro determinado). 
Representamos o valor nominal pela letra N. 
 
 
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2.2- Valor Atual 
 Valor Atual é o valor que um compromisso ou um título de crédito tem em uma data que 
antecede ao seu vencimento, ou seja, é o valor nominal descontado. 
 Representamos o valor atual pela letra V. 
 
 
2.3- Desconto 
Desconto é o valor que se deduz do compromisso ou do título de crédito pela antecipação do seu 
vencimento, isto é, a diferença entre o valor nominal e o seu valor atual (descontado). Adotamos a 
notação D. 
 
.D = N − V. 
 
 
.D = N − V. 
 
 
 
3- CLASSIFICAÇÃO DO DESCONTO . 
Conforme o tipo de taxa com que for calculado, teremos os seguintes descontos: 
 
● Desconto Racional 
● Desconto Comercial 
 
Em ambos os casos, dependendo do regime de capitalização que vier a ser adotado no 
cálculo do desconto, teremos: 
 
● Desconto Racional Simples 
● Desconto Racional Composto 
● Desconto Comercial Simples 
● Desconto Comercial Composto 
 
Nas operações de mercado, realizadas pelas instituições financeiras, são usados apenas o 
Desconto Comercial Simples e o Desconto Racional Composto. 
P Juros 
N 
0 
Vr 
D 
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3.1- Desconto Racional ou “Por Dentro” 
 O desconto racional, também chamado de desconto real, de desconto verdadeiro ou de 
desconto por dentro, ou a taxa de juros é o desconto que se obtém pelo cálculo do juro simples 
sobre o valor atual, do título que é quitado "n" períodos antes de seu vencimento. 
 
Neste tipo de desconto temos as mesmas relações desenvolvidas no estudo de juros simples, 
mudando apenas a notação. 
 
.Dr = (Vr ) (i) (n)]. 
Onde: 
Dr: Desconto Racional ou Valor do Desconto Racional ou Juros do Título de Crédito. 
Vr : Valor Atual Racional ou Valor Descontado Racional ou Valor Líquido Recebido. 
n: Prazo (Diferença entre Data de Vencimento e Data de Resgate) 
i: Taxa de Desconto Racional 
 
.Dr = N − Vr . 
Onde: 
 N: Valor Nominal ou Valor de Face, ou Valor de Emissão 
 
Valor Descontado: é a diferença entre o valor nominal e o desconto: Vr = N – Dr 
 
Como: Dr = Vr i n 
Então: Vr = N – Vr i n 
N = Vr + Vr i n 
Colocando Vr em evidência fica: 
.N = Vr [1 + (i) (n)]. 
Como: Vr = N . 
 1 + (i) (n) 
 
Então: Dr = N – Vr => Dr = N – . N . 
 1 + (i) (n) 
 
 
.Dr = (N) (i) (n)[1 + (i) (n)]−1
. 
 
 
Ex. 1: Sabendo-se que o valor nominal de uma duplicata é $ 4.500 vencível em cinco meses, 
descontado à taxa de desconto racional simples de 48% a.a, calcular o valor do desconto e o valor 
descontado. 
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 N = $ 4.500 n = 5 meses i = 48% a.a. = 4% a.m. 
 Dr = ? Vr = ? 
Solução: .Dr = (N) (i) (n) [1 + (i) (n)]−1. 
 Dr = ($ 4.500) (0,04/mês) (5 meses) 
 1 + (0,04/mês) (5 meses) 
Dr = $ 900 
 1 + 0,2 
Dr = $ 900 
 1,2 
Dr = $ 750 
 
Solução 1: .Dr = N − Vr . 
 $ 750 = $ 4.500 – Vr 
 Vr = $ 4.500 − $ 750 
Vr = $ 3.750 
 
Solução 2: .N = Vr [1 + (i) (n)]. 
 4.500 = Vr [1 + (0,04) (5)] 
4.500 = Vr (1 + 0,20) 
4.500 = Vr 
 1,20 
Vr = $ 3.750 
 
Solução 3: .Dr = (Vr ) (i) (n)]. 
750 = (Vr ) (0,04) (5) 
750 = (Vr ) 
0,20 
Vr = $ 3.750 
Resposta: $ 750; e $ 3.750 
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Ex. 2: Uma empresa emitiu um título de crédito com vencimento em 18 de novembro. Noventa e 
três dias antes da data do vencimento, o título foi descontado a uma taxa de desconto simples “por 
dentro” igual a 2% a.m. Se o valorlíquido recebido na operação de desconto foi $ 6.300, qual foi o 
valor de face? 
 
n = 93 dias (Ano Comercial = 360 dias) i = 2% a.m. 
Vr = $ 6.300 N = ? 
Solução: .N = Vr [1 + (i) (n)]. 
 N = $ 6.300 [1 + (0,02/30) (93)] 
N = $ 6.300 (1 + 0,0620) 
N = $ 6.300 (1,0620) 
N = $ 6.690,60 
 
Solução 2: .Dr = (Vr ) (i) (n)]. .Dr = N − Vr . 
Dr = 6.300 (0,02/30) (93) = $ 390,60 
 N = 390,60 + 6.300 = $ 6.690,60 
Resposta: $ 6.690,60 
 
 
Ex. 3: Uma nota promissória de valor de emissão de $ 5.002,50; está sendo descontada a taxa de 
desconto simples verdadeiro de 3,5% a.m. Se o valor atual for $ 4.600, quanto tempo antes da data 
de vencimento está sendo descontada a nota? 
 
N = $ 5.002,50 Vr = $ 4.600 i = 3,5% a.m. 
n = ? 
Solução 1: .N = Vr [1 + (i) (n)] . 
5.002,50 = 4.600 [1 + (0,035) (n)] 
5.002,50 – 1 = (0,035) (n) 
 4.600 
1,0875 – 1 = (0,035) (n) 
0,0875 = (n) 
 0,035 
n = 2,5 meses 
 
Solução 2: .Dr = N − Vr . .Dr = (Vr ) (i) (n)]. 
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 5.002,50 – 4.600 = (4.600) (0,035) (n) 
 . 402,50 = n 
 (4.600) (0,035) 
 n = 2,5 meses 
Resposta: 2,5 meses 
 
 
Ex. 4: Uma letra de câmbio de valor de face igual a $ 9.000 foi descontada cinqüenta e cinco dias 
antes da data de vencimento, sendo o desconto simples real no valor de $ 850. Calcular a taxa de 
desconto simples anual. 
 
N = $ 9.000 n = 55 dias Dr = $ 850 i = ? (a.a.) 
Solução 1: .Dr = (N) (i) (n) [1 + (i) (n)]−1. 
 850 = (9.000) (i) (55) 
 1 + (i) (55) 
 850 = 495.000 (i) 
 1 + (i) (55) 
 1 + (i) (55) = (495.000) (i) 
 850 
 1 + (i) (55) = 582,35 (i) 
1 = 582,35 (i) – (55) (i) 
1 = (i) [582,35 – (55)] 
i = 1 . 
 527,35 
i = 0,001896 a.d. = 0,1896% a.d. 
i = (0,1896%) (360) = 68,26% a.a. 
 
Solução 2: .Dr = (Vr ) (i) (n)]. 
 .Dr = N − Vr . ⇒ Vr = N − Dr 
850 = (9.000 − 850) (i) (55/360) 
 (850) (360) = i 
(8.150) (55) 
i = 0,6872 = 68,27% a.a. 
Resposta: 68,27% a.a. 
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Ex. 5: Se o valor do desconto simples “por dentro” de um título de crédito for $ 5.600; o valor 
nominal $ 39.000; e a taxa de desconto 18% a.q; quantos meses antes do vencimento foi descontado 
o título de crédito? 
 
N = $ 39.000 n = ? (meses) i = 18% a.q Dr = $ 5.600 
Solução 1: .Dr = (N) (i) (n) [1 + (i) (n)]−1. 
 
5.600 = (39.000) (0,18/4) (n) 
 1 + (0,18/4) (n) 
1 + (0,18) (n) (1/4) = (39.000) (0,18) (n) (1/4) 
 5.600 
1 + 0,045 n = 0,313 n 
1 = 0,313 n – 0,045 n 
1 = 0,268 n 
n = 3,73 
Solução 2: .Dr = (Vr ) (i) (n)]. 
.Dr = N − Vr. 
 5.600 = (39.000 − 5.600) (0,18/4) (n) 
 (5.600) (4) = n 
(33.400) (0,18) 
n = 3,73 
Resposta: 3,73 
 
 
Ex. 6: Se o juro de uma nota promissória for $ 10.640; o valor recebido $ 53.480; e o prazo sessenta 
e sete dias, qual será a taxa de desconto simples racional ao trimestre cobrada? 
 
D = $ 10.640 Vr = $ 53.480 n = 67 dias i = ? (a.t.) 
Solução: .Dr = (Vr ) (i) (n)]. 
 10.640 = (53.480) (i) (67/90) 
i = 26,73% 
Resposta: 26,73% 
 
 
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Ex. 7: Calcule o valor de face de uma nota promissória que foi descontada cento e vinte dias antes 
do seu vencimento a uma taxa de desconto simples real de 60% a.s, e os juros da nota $ 30.000?
 
 Juros = D = $ 30.000 (Real ⇒ Racional) 
n = 120 dias i = 60% a.s. N = ? 
Solução 1: 
30.000 = (N) (0,60) (120/180) 
 1 + (0,60) (120/180) 
30.000 = (N) (0,40) 
 1 + 0,40 
30.000 = (N) (0,40) 
 1,40 
 
(30.000) (1,40) = N 
 0,40 
 
N = $ 105.000 
Solução 2: .Dr = (Vr ) (i) (n)]. .Dr = N − Vr. 
 30.000 = (Vr) ( 0,60) (120/180) 
 (30.000) (180) = Vr 
 (0,60) (120) 
Vr = $ 75.000 
N = $ 30.000 + $ 75.000 
N = $ 105.000 
Resposta: 105.000 
 
 
Ex. 8: Duas duplicatas foram descontadas a uma taxa de desconto simples racional de 36% a.s. A 
primeira duplicata foi descontada quatro meses antes do vencimento; e a segunda duplicata foi 
descontada um semestre antes do seu vencimento. Sabendo-se que a soma dos descontos das duas 
duplicatas totalizaram em $ 79.800 e que o desconto da segunda duplicata excedeu o desconto da 
primeira em $ 23.450, qual era soma dos dois valores atuais? 
 
 V1 n1 = 4 meses 
V2 n2 = 1 sem = 6 meses. 
 D1 + D2 = $ 79.800 D2 = $ 23.450 + D1 
i = 36% a.s = 6% a.m. V1 + V2 = ? 
Solução: 
 D1+ D2 = $ 79.800 (1) 
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 D2 = $ 23.450 + D1 (2) 
Sistema com duas equações e duas incógnitas 
 
Substituindo a equação (2) na equação (1) fica: 
Dr1 
+ 23.450 + Dr1 = 79.800 
Dr1 = $ 28.175 
.Dr = (Vr ) (i) (n)]. 
28.175 = (Vr1) (0,06) (4) 
Vr1 = $ 117.395,83 
Dr2 = 23.450 + D1 = 23.450 + 28.175 
Dr2 = $ 51.625 
51.625 = (Vr2) (0,06) (6) 
Vr2 = $ 143.402,78 
Vr1 + Vr2 = $ 117.395,83 + $ 143.402,78 
Vr1 + Vr2 = $ 260.798,61 
Resposta: $ 260.798,61 
 
 
Ex. 9: Calcular o valor atual de um título de $ 14.960, sabendo-se que foi descontado nove 
meses antes do vencimento a uma taxa de juros simples de 12% a.t. 
 
i = 12% a.t. n = 9 meses Vr = ? N = $ 14.960 
Solução: .N = Vr [1 + (i) (n)]. Taxa de juros ⇒ Desconto Racional 
14.960 = Vr [1 + (0,12) (9) (1/3)] 
Vr = 14.960 
 1,36 
Vr = $ 11.000 
Resposta: $ 11.000 
 
 
Ex. 10: Quanto tempo antes do vencimento foi descontado a uma taxa de desconto simples 
verdadeiro de 10% a.q, um título de crédito cujo valor de face foi (6/4) do seu valor descontado? 
 
 n = ? N = (6/4) (Vr) i = 10% a.q. 
Solução: .N = Vr [1 + (i) (n)]. 
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 (6/4) (Vr) = Vr [1 + (0,10) (n)] 
n = (1 − 1,5) = 0,5 
 0,10 10 
n = 5 quad. 
Resposta: 5 quad. 
 
Ex. 11: O valor de face de uma duplicata de $ 23.840 que foi descontada "por dentro", cento e 
sessenta e oito dias antes da data de vencimento; o valor descontado foi $ 15.975. Calcular a taxa 
anual de desconto simples usada nesta operação. 
 
 N = $ 23.840 n = 168 dias i = ? (a.a) Vr = $ 15.975 
Solução 1: .N = Vr [1 + (i) (n)]. 
 23.840 = 15.975 [1 + (i) (168) (1/360)] 
23.840 − 1 = (i) (168) (1/360) 
15.975 
 
 (0,4923) (360) = i 
 168 
i = 1,055 = 105,5% 
 
Solução 2: .Dr = (Vr ) (i) (n)]. 
.Dr = N − Vr. 
 23.840 − 15.975 = (15.975) (i) (168) (1/360) 
i = 105,5% 
Resposta: 105,5% 
 
Ex. 12: Um comerciante descontou duas duplicatas à taxa de juros simples de 7,5% a.s. A 
primeira duplicata foi descontada nove meses antes do seu vencimento e a segunda cento e 
sessenta dias antes do seu vencimento. O valor de emissão da última duplicata era 50% 
superior que o valor da primeira duplicata. Sabendo-se que os valores do dois descontos 
somaram $ 382,50, qual o valor emissão da duplicata que produziu o maior desconto? 
 
N1 n1 = 9 meses 
N2 n2 = 160 dias 
N2 = 1,5 N1 Dr1 + Dr2 = $ 382,50 
N = ? (produziu maior desconto) 
 
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Solução: Desconto à Taxa de Juros => Desconto Racional 
 Dr1 = N1 (0,075) (9) (1/6) 
 1 + (0,075) (9) (1/6) 
 
Dr1 = 0,1011N1 
 
 Dr2 = N2 (0,075) (160) (1/180) 
1 + (0,075) (160) (1/180) 
 
Dr2 = 0,0625 N2 
Como: N2 = 1,5 N1 
(0,0625) (1,5) = 0,0938 ⇒ 0,0938 < 0,1011 
⇒ Dr2 < Dr1 
Resolvendo a equação em função de N1, fica: 
 0,1011 N1 + 0,0625 N2 = 382,50 
 0,1011 N1 + (0,0625) (1,5) N1 = 382,50 
N1 = $ 1.963,05 
Resposta: $ 1.963,05 
 
 
3.2- Desconto Comercial ou “Por Fora” 
É o desconto que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do título que 
seja quitado "n" períodos antes do seu vencimento. 
 
.Dc = (N) (i) (n)]. 
.Dc = N – Vc . 
.Vc = N [1 – (i) (n)] . 
Onde: 
Dc: Desconto Comercial, ou Valor do Desconto Comercial, ou Juros do Título de Crédito 
 
Vc: Valor Atual Comercial, ou Valor Descontado Comercial, ou Valor Líquído Comercial 
Recebido. 
 
N: Valor Nominal ou Valor de Face, ou Valor de Emissão (Valor na Data de Vencimento) 
 
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n: Prazo antes do vencimento que foi descontado o título de crédito 
 
i : Taxa de Desconto Simples Comercial 
 
 
 
NOTA : 
���� Em regime de capitalização simples, isto é, quando se trata de desconto simples, se 
não estiver explícito no problema se o desconto é comercial ou racional, será sempre 
comercial, pois é este desconto que acontece na prática. 
 
 
 
 
NOTA : 
���� O desconto comercial por ser o mais utilizado pelos bancos para o cálculo da 
remuneração do capital, no regime de capitalização simples, muitos autores denominam 
também de desconto bancário. 
 
 
 
 
Ex. 13: Uma letra de câmbio de $ 7.000 foi descontada quarenta e oito dias antes da data do 
vencimento a uma taxa de desconto simples comercial de 6% a.t. Determinar os juros da letra de 
câmbio e o valor descontado. 
 
 N = $ 7.000 n = 48 dias Jc = Dc = ? Vc = ? 
 i = 6% a.t. 
Solução: .Dc = (N) (i) (n)]. 
 Dc = ($ 7.000) (0,06/trim) (48 dias) (1 trim/90 dias) 
Dc = $ 224 
Solução 1: .Dc = N – Vc. 
 $ 224 = $ 7.000 – Vc 
Vc = $ 6.776 
 
Solução 2: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 Vc = 7.000 [1– (0,06) (48/90)] 
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Vc = 7.000 (1– 0,032) 
Vc = 7.000 (0,9680) 
Vc = $ 6.776 
Resposta: $ 6.776 
 
 
Ex. 14: Calcular o valor de face de uma duplicata que foi descontada oitenta e dois dias antes do 
seu vencimento, sabendo-se que o desconto foi $ 964 e a taxa de desconto simples “por fora” foi 
36% a.a. 
 
 n = 82 dias i = 36% a.a. N = ? D = $ 964 
Solução: .Dc = (N) (i) (n)]. 
 964 = N (0,36/360) (82) 
 964 = N (0,082) 
N = $ 11.756,10 
Resposta: $ 11.756,10 
 
 
Ex. 15: Uma duplicata de valor nominal de $ 17.500 foi descontada a taxa de desconto simples no 
valor de 13,95% a.t. Se o desconto foi $ 2.460; quantos dias antes do vencimento foi descontada a 
duplicata? 
 
N = $ 17.500 i = 13,95% a.t n = ? Dc = $ 2.460 
Solução: .Dc = (N) (i) (n)]. 
 2.460 = (17.500) (0,1395) (n) (1/90) 
 (2.460,00) (90) = n 
(17.500) (0,1395) 
n = 91 
Resposta: 91 
 
 
LEMBRETE : 
���� Como não foi explícito no problema se é desconto comercial ou desconto racional, 
portanto, na prática em se tratando de desconto simples será sempre o desconto comercial. 
 
 
 
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Ex. 16: Uma nota promissória de valor de emissão de $ 47.800 foi descontada quatro meses e dez 
dias antes do seu vencimento. Se o valor de resgate foi $ 42.900, qual a taxa de desconto simples 
comercial anual usada nesta operação? 
 
N = $ 47.800 n = 4 meses e 10 dias = (4) (30) + 10 = 130 dias 
Vc = $ 42.900 i = ? (a.a) 
Solução 1: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 42.900 = 47.800 [1 – (i) (130) (1/360)]. 
42.900 = [1 – (i) (130) (1/360)]. 
47.800 
0,8975 = 1 – (i) (130) (1/360) 
(i) (130) (1/360) = 1 – 0,8975 
i = 0,2838 = 28,4% 
 
Solução 2: .Dc = (N) (i) (n)]. 
.Dc = N – Vc. 
 47.800 – 42.900 = (47.800) (i) (130) (1/360) 
 4.900 = (i) (130) (1/360) 
47.800 
0,1025 = (i) (130) (1/360) 
i = 0,2839 = 28,4% 
Resposta: 28,4% 
 
Ex. 17: Uma empresa emitiu uma nota promissória de valor de face $ 11.470, que foi descontado a 
uma taxa de desconto simples comercial de 3,75% a.m. Calcule o valor atual e o desconto, sabendo-
se que a nota foi descontada cento e quarenta e quatro dias antes do seu vencimento. 
 
N = $ 11.470 n = 145 dias i = 3,75% a.m Vc = ? 
 Dc = ? 
Solução: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 Vc = 11.470 [1 − (0,0375) (144) (1/30)] 
Vc = $ 9.405,40 
 .Dc = N – Vc. 
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16 
Dc = 11.470 − 9.405,40 
Dc = $ 2.064,60 
 .Dc = (N) (i) (n)]. 
Dc = (11.470) (0,0375) (144) (1/30) 
Dc = $ 2.064,60 
Resposta: $ 2.064,60 
 
 
Ex. 18: Duas notas promissórias, com valores de face $ 6.500 e $ 13.240, vencíveis em cinco 
meses; e dez bimestres, respectivamente, sofreram desconto simples "por fora", gerando um total de 
$ 7.800, correspondente à soma dos seus juros. Calcular a taxa de desconto? 
 
N1 = $ 6.500 n1 = 5 meses 
N2 = $ 13.240 n2 = 10 bim. = 20 meses 
Dc1 + Dc2 = $ 7.800 i = ? 
Solução: .Dc = (N) (i) (n)]. 
 (6.500) (i) (5) + (13.240) (i) (20) = 7.800 
 (32.500) (i) + (264.800) (i) = 7.800 
i = . 7.800 . 
 297.300 
i = 0,0262 = 2,62% a.m 
Resposta: 0,0262 ou 2,62% 
 
 
Ex. 19: Calcular o valor de face de uma duplicata que foi descontada oitenta e dois dias antes do 
seu vencimento, sabendo-se que o desconto foi $ 964 e a taxa de desconto simples foi 36% a.a. 
 
 n = 82 dias i = 36% a.a. N = ? D = $ 964 
Solução: .Dc = (N) (i) (n)]. 
 
LEMBRETE : 
���� Como não foi explícito no problema se é desconto comercial ou desconto racional, 
portanto, na prática em se tratando de desconto simples será sempre o desconto comercial. 
 
 
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 $ 964,00 = N (0,36 / ano) (82 dias) (1 ano/360 dias) 
 $ 964,00 = N (0,082) 
N = $ 11.756,10 
Resposta: $ 11.756,10 
 
 
Ex. 20: Quantos trimestres antes do vencimento; foi descontado um título de valor nominal de $ 
11.500; a uma taxa de desconto simples “por fora” de 26,09% a.s, recebendo após o desconto o 
valor líquido de $ 10.000. 
 
Vc = $ 10.000 N = $ 11.500 i = 26,09% a.s. n = ? (trim.) 
Solução 1: .Dc = N – Vc. .Dc = (N) (i) (n)]. 
$ 11.500 – $ 10.000 = ($ 11.500) (0,2609) (1 sem) (n) 
 sem. 2 trim. 
 . ($ 1.500) (2 trim) = n 
 ($ 11.500) (0,2609) 
 n = 1 trim. 
Solução 2: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 $ 10.000 = $ 11.500 [1 – (0,2609/sem) (n)] 
 $ 10.000 = 1 – (0,2609/sem) (n) 
$ 11.500 
0,8696 – 1 = – (0,2609/sem) (n)] 
 – 0,1304 sem = – n 
 0,2609 
– n ≅ – 0,50 sem 
Multiplicando por menos um fica: 
n ≅≅≅≅ 0,50 sem. 
Prazo = (0,50 sem) (2 trim) = 1 trim 
 1 sem 
Resposta: 1,0 
 
 
Ex. 21: Calcule o desconto simples racional sofrido por um título de crédito que foi resgatado 
cinco meses antes de seu vencimento,a uma taxa de 96% a.a., se este mesmo título de crédito 
tivesse sofrido um desconto simples comercial cujo valor do desconto teria sido de $ 8.500.
 
 Dr = ? Dc = $ 8.500 n = 5 meses i = 96% a.a. = 8% a.m. 
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Solução: .Dc = (N) (i) (n)]. 
 8.500 = N (0,08) (5) 
 N = $ 21.250 
 .Dr = (N) (i) (n) [1 + (i) (n)]−1. 
Dr = (21.250) (0,08) (5) 
 1 + (0,08) (5) 
Dr = . 8.500 . 
 1 + 0,40 
Dr = 8.500 
 1,40 
Dr = $ 6.071,43 
Resposta: $ 6.071,43 
 
 
Ex. 22: O valor descontado simples de uma duplicata é igual a (2/5) de seu valor emissão. Qual será 
a taxa de desconto anual “por fora”, se o prazo de antecipação for de seis meses? 
 
 Vc = (2/5) N n = 6 meses i = ? (a.a.) 
Solução: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 (2/5) N = N [1 – (i) (6/12)] 
 0,4 = 1 – (6/12) (i) (meses) 
i = 1,2 a.a. = 120% a.a 
Resposta: 120% 
 
 
Ex. 23: Uma nota promissória no valor nominal de $ 50.000 vence no dia 30 de abril. Uma 
negociação para resgatá-la no dia 10 de abril, a uma taxa de desconto comercial simples de 4,5% ao 
mês, implicaria num desembolso de: 
 
N = $ 50.000 n = 20 dias i = 4,5% a.m. Vc = ? 
Solução: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 Vc = 50.000 [1 − (0,045) (20) (1/30)] 
Vc = 50.000 (1 − 0,030) 
Vc = 50.000 (0,97) 
Vc = $ 48.500 
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Resposta: $ 48.500 
 
 
Ex. 24: Um título de crédito de valor face de $ 51.700 sofreu um desconto simples a uma taxa de 
36% a.s. Se o valor atual foi $ 30.650, quantos meses antes da data de vencimento foi descontado o 
título de crédito? 
 
N = $ 51.700 Vc = $ 30.650 i = 36% a.s. n = ? (meses) 
 
 
LEMBRETE : 
���� Como não foi explícito no problema se é desconto comercial ou desconto racional, 
portanto, na prática em se tratando de desconto simples será sempre o desconto comercial. 
 
 
Solução 1: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
30.650 = (51.700) [1 − (0,36) (1/6) (n)] 
30.650 = 1 − (0,36) (1/6) (n) 
51.700 
n = (1 − 0,59280) (6) (1/0,36) 
n = 6,79 meses 
Solução 2: .Dc = N – Vc. .Dc = (N) (i) (n)]. 
 51.700 − 30.650 = (51.700) (0,36) (n) 
. 21.050 = n 
 (51.700) (0,36) 
n = 1,1310 sem. 
Prazo = (1,1310 sem) (6 meses/1 sem.) = 6,79 
Resposta: 6,79 
 
 
Ex. 25: Dois títulos, um vencível em setenta dias e o outro em cento e dez dias são descontados 
“por fora” a taxa de desconto simples de 4,5% a.m. Quais são os valores de face, dado que somam $ 
7.500; e que seus valores descontados totalizam $ 6.400? 
 
n1 = 70 dias n2 = 110 dias i = 4,5% a.m. 
N1 + N2 = $ 7.500,00 V1 + V2 = $ 6.400 
N1 = ? N2 = ? 
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Solução: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
N1 [1 – (i) (n1)] + N2 [1 – (i) (n2)] = 6.400 
N1 [1 – (0,045) (70/30)] + N2 [1 – (0,045) (110/30)] = 6.400 
N1 (0,90) + N2 (0,84) = 6.400 
Como: N2 = $ 7.500 – N1 
N1 (0,90) + (7.500 – N1) (0,84) = 6.400 
0,90 N1 – 0,84 N1 = 6.400 − 6.300 
 N1 = $ 1.666,67 
N2 = 7.500 − 1.666,67 
N2 = $ 5.833,33 
Resposta: $ 5.833,33 
 
 
Ex. 26: Determinar a taxa de desconto simples comercial mensal de uma letra de câmbio; de valor 
de vencimento igual a $ 18.000 e que foi descontada em um banco, cento e trinta e três dias antes de 
seu vencimento; sendo o valor do desconto $ 4.765. 
 
 N = $ 18.000 Vencimento: 15/09 Dc = $ 4.765 i = ? (ao mês) 
Solução: .Dc = (N) (i) (n)]. 
 $ 4.765 = $ 18.000 (i) (133 dias) (1 mês/30 dias) 
 $ 4.765 = $ 79.800 (i) (mês) 
i = 0,0597 a.m = 5,97% a.m. 
Resposta: 0,0597 a.m = 5,97% a.m. 
 
 
Ex. 27: Quanto devo receber pelo resgate de três títulos de crédito de $ 50.000 cada título, 
sabendo que a taxa de desconto simples “por fora” é 6% a.m; e que os títulos vencerão, 
respectivamente, dentro de dez dias; vinte e cinco dias e cinquenta dias? 
 
 
N1 = N2 = N3 = $ 50.000 
 n1 = 10 dias n2 = 25 dias n3 = 50 dias 
i = 6% a.m. 
VcT = Vc1 + Vc2 + Vc3 = ? 
Solução: .Dc = (N) (i) (n)]. .Dc = N – Vc. 
 VcT = N1 − (N1) (i) (n1) + N2 − (N2) (i) (n2) + N3 − (N3) (i) (n3) 
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Como: 
N1 = N2 = N3 = $ 50.000 
E colocando N em evidência 
 VcT = (3) (N) − [(N1) (i) (n1) + (N2) (i) (n2) + (N3) (i) (n3)] 
VcT = 150.000 − [(50.000) (0,06) (10/30) + (50.000) (0,06) (25/30) + (50.000) (0,06) (50/30)] 
VcT = $ 141.500 
Resposta: $141.500 
 
Ex. 28: Duas letras de câmbio com valores de emissão de $ 40.000 e $ 60.000; vencíveis em meio 
ano, e dez meses, respectivamente, sofreram desconto simples, gerando um total de $ 80.000, 
correspondente à soma dos seus valores atuais. Qual foi a taxa de desconto referente a esta 
operação? 
 
N1 = $ 40.000 n1 = 0,5 ano = 6 meses 
N2 = $ 60.000 n2 = 10 meses 
V1 + V2 = $ 80.000 i = ? 
 
 
LEMBRETE : 
���� Como não foi explícito no problema se é desconto comercial ou desconto 
racional, portanto, na prática em se tratando de desconto simples será sempre o desconto 
comercial. 
 
 
Solução: .Vc = N [1 – (i) (n)]. 
 N1 
[1 − (i) (n1)] + N2 
[1 − (i) (n2)] = 75.000 
 40.000 [1 − (i) (6)] + 60.000 [1 − (i) (10)] = 80.000 
Dividindo a equação por 40.000 fica: 
 1− 6 (i) + (1,5) [1 − (i) (10)] = 2 
1− 6 (i) + 1,5 − 15 (i) = 2 
2,5 − 2,0 = 21 (i) 
i = 0,5/21 
i = 0,0238 a.m. = 2,38% a.m. 
Resposta: 2,38% a.m.