Derivadas e Integrais

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Explicação: Este é o limite fundamental que é igual a 1. 
 
220. Problema: Se \( f(x) = \sqrt{2x + 1} \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 Resposta: \( \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \) 
 Explicação: Utilizando a regra da cadeia e a derivada da função raiz quadrada, temos 
que a derivada de \( f(x) \) é \( \frac{1}{\sqrt{2x + 1}} \). 
 
221. Problema: Se \( g(x) = e^{3x} \), qual é a integral indefinida de \( g(x) \)? 
 Resposta: \( \frac{1}{3}e^{3x} + C \) 
 Explicação: A integral indefinida de \( g(x) \) é \( \frac{1}{3}e^{3x} + C \), onde \( C \) é a 
constante de integração. 
 
222. Problema: Se \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \), onde \( C \) é a constante de 
integração, qual é o valor de \( C \)? 
 Resposta: Qualquer número real 
 Explicação: A constante de integração \( C \) pode ser qualquer número real, pois ao 
derivar \( \ln|x| + C \), a constante desaparece. 
 
223. Problema: Se \( f(x) = \frac{1}{x^3} \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 Resposta: \( -\frac{3}{x^4} \) 
 Explicação: A derivada de \( f(x) \) é \( -\frac{3}{x^4} \). 
 
224. Problema: Se \( g(x) = \ln(2x) \), qual é a derivada de \( g(x) \)? 
 Resposta: \( \frac{1}{x} \) 
 Explicação: Utilizando a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural, temos que a 
derivada de \( g(x) \) é \( \frac{1}{x} \). 
 
225. Problema: Se \( f(x) = e^{x^2} \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 Resposta: \( 2xe^{x^2} \) 
 Explicação: Utilizando a regra da cadeia e a derivada da função exponencial, temos que 
a derivada de \( f(x) \) é \( 2xe^{x^2} \). 
 
226. Problema: Se \( g(x) = \cos(3x) \), qual é a derivada de \( g(x) \)?