Derivadas e Integrais

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Explicação: Usamos a regra da cadeia e a derivada do seno para \( 5x \) é \( \cos(5x) \) e 
dividimos por \( 5 \). 
 
67. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \tan(x) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \sec^2(x) \). 
 Explicação: A derivada da tangente é o quadrado da secante pela regra da derivada da 
função tangente. 
 
68. Problema: Encontre a integral definida de \( g(x) = \cos(5x) \) no intervalo de \( 0 \) a \( 
\frac{\pi}{5} \). 
 Resposta: A integral definida de \( g(x) \) de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{5} \) é \( \frac{1}{5} \). 
 Explicação: Integramos \( \cos(5x) \) e então avaliamos a integral nos limites \( 0 \) e \( 
\frac{\pi}{5} \). 
 
69. Problema: Calcule a derivada de \( h(x) = \ln(6x) \). 
 Resposta: A derivada de \( h(x) \) é \( h'(x) = \frac{1}{x} \). 
 Explicação: Usamos a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural para \( 6x \) é \( 
\frac{1}{x} \). 
 
70. Problema: Encontre a integral indefinida de \( f(x) = e^{5x} \). 
 Resposta: A integral indefinida de \( f(x) \) é \( F(x) = \frac{1}{5}e^{5x} + C \). 
 Explicação: Aplicamos a regra da cadeia para derivar \( e^{5x} \) e dividimos por \( 5 \). 
 
71. Problema: Calcule a derivada de \( g(x) = \frac{1}{\sqrt{6x}} \). 
 Resposta: A derivada de \( g(x) \) é \( g'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{6x}} \). 
 Explicação: Aplicamos a regra do quociente e a regra do poder para derivar \( 
\frac{1}{\sqrt{6x}} \). 
 
72. Problema: Encontre a integral definida de \( h(x) = \tan(5x) \) no intervalo de \( 0 \) a \( 
\frac{\pi}{10} \). 
 Resposta: A integral definida de \( h(x) \) de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{10} \) é \( -
\ln(\cos(\frac{\pi}{10})) \). 
 Explicação: Integramos \( \tan(5x) \) e então usamos a identidade trigonométrica \( 
\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) para substituir \( \sin(5x) \) e \( \cos(5x) \).