Derivadas e Integrais

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Explicação: Este é o limite fundamental que é igual a 1. 
 
253. Problema: Se \( f(x) = e^{3x^2} \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 Resposta: \( 6xe^{3x^2} \) 
 Explicação: Utilizando a regra da cadeia e a derivada da função exponencial, temos que 
a derivada de \( f(x) \) é \( 6xe^{3x^2} \). 
 
254. Problema: Se \( g(x) = \cos^2(x) \), qual é a derivada de \( g(x) \)? 
 Resposta: \( -2\sin(x)\cos(x) \) 
 Explicação: Utilizando a regra da cadeia e a derivada do cosseno, temos que a derivada 
de \( g(x) \) é \( -2\sin(x)\cos(x) \). 
 
255. Problema: Se \( \int e^x \ln(x) dx = xe^x - \int e^x dx + C \), onde \( C \) é a constante de 
integração, qual é o valor de \( C \)? 
 Resposta: Qualquer número real 
 Explicação: A constante de integração \( C \) pode ser qualquer número real, pois ao 
derivar \( xe^x - \int e^x dx + C \), a constante desaparece. 
 
256. Problema: Se \( \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x)}{x} = L \), qual é o valor de \( L \)? 
 Resposta: 1 
 Explicação: Este é o limite fundamental que é igual a 1. 
 
257. Problema: Se \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x} \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 Resposta: \( -\frac{\sin(x)}{x} - \frac{\cos(x)}{x^2} \) 
 Explicação: Utilizando a regra do quociente, a derivada de \( f(x) \) é \( -\frac{\sin(x)}{x} - 
\frac{\cos(x)}{x^2} \). 
 
258. Problema: Se \( g(x) = \sin(2x) \), qual é a derivada de \( g(x) \)? 
 Resposta: \( 2\cos(2x) \) 
 Explicação: Utilizando a regra da cadeia e a derivada do seno, temos que a derivada de 
\( g(x) \) é \( 2\cos(2x) \). 
 
259. Problema: Se \( \int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} + C \), onde \( C \) é a constante de 
integração, qual é o valor de \( C \)?