Derivadas e Integrais

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Resposta: A derivada de \( g(x) \) é \( g'(x) = 4e^{4x} \). 
 Explicação: Aplicamos a regra da cadeia para derivar \( e^{4x} \). 
 
54. Problema: Encontre a integral indefinida de \( h(x) = \tan(x) \). 
 Resposta: A integral indefinida de \( h(x) \) é \( H(x) = -\ln|\cos(x)| + C \). 
 Explicação: Integramos \( \tan(x) \) e então usamos a identidade trigonométrica \( \tan(x) 
= \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) para substituir \( \sin(x) \) e \( \cos(x) \). 
 
55. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(5x) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{1}{x} \). 
 Explicação: Usamos a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural para \( 5x \) é \( 
\frac{1}{x} \). 
 
56. Problema: Encontre a integral definida de \( g(x) = e^x \) no intervalo de \( 0 \) a \( \ln(2) 
\). 
 Resposta: A integral definida de \( g(x) \) de \( 0 \) a \( \ln(2) \) é \( 2 - 1 \). 
 Explicação: Integramos \( e^x \) e então avaliamos a integral nos limites \( 0 \) e \( \ln(2) 
\). 
 
57. Problema: Calcule a derivada de \( h(x) = \sqrt{5x} \). 
 Resposta: A derivada de \( h(x) \) é \( h'(x) = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{x}} \). 
 Explicação: Aplicamos a regra do poder para derivar \( \sqrt{5x} \). 
 
58. Problema: Encontre a integral indefinida de \( f(x) = \cos(5x) \). 
 Resposta: A integral indefinida de \( f(x) \) é \( F(x) = \frac{1}{5}\sin(5x) + C \). 
 Explicação: Usamos a regra da cadeia e a derivada do cosseno para \( 5x \) é \( \sin(5x) \) 
e dividimos por \( 5 \). 
 
59. Problema: Calcule a derivada de \( g(x) = \frac{1}{x} \). 
 Resposta: A derivada de \( g(x) \) é \( g'(x) = -\frac{1}{x^2} \). 
 Explicação: Aplicamos a regra do poder para derivar \( \frac{1}{x} \).