Derivadas e Integrais

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27. Problema: Calcule a derivada de \( h(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \). 
 Resposta: A derivada de \( h(x) \) é \( h'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}} \). 
 Explicação: Aplicamos a regra do quociente e a regra do poder para derivar \( 
\frac{1}{\sqrt{x}} \). 
 
28. Problema: Encontre a integral definida de \( f(x) = x^3 \) no intervalo de \( -1 \) a \( 1 \). 
 Resposta: A integral definida de \( f(x) \) de \( -1 \) a \( 1 \) é \( 0 \). 
 Explicação: Como \( f(x) \) é uma função ímpar, a integral definida de \( -1 \) a \( 1 \) é \( 0 
\). 
 
29. Problema: Calcule a derivada de \( g(x) = \tan(2x) \). 
 Resposta: A derivada de \( g(x) \) é \( g'(x) = 2\sec^2(2x) \). 
 Explicação: Usamos a regra da cadeia e a derivada da tangente para \( 2x \) é \( 
2\sec^2(2x) \). 
 
30. Problema: Encontre a integral indefinida de \( h(x) = e^{-2x} \). 
 Resposta: A integral indefinida de \( h(x) \) é \( H(x) = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C \). 
 Explicação: Derivamos a função exponencial \( e^{-2x} \) aplicando a regra da cadeia e 
dividimos por \( -2 \). 
 
31. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(x^2) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{2}{x} \). 
 Explicação: Usamos a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural para \( x^2 \) é \( 
\frac{2}{x} \). 
 
32. Problema: Encontre a integral definida de \( g 
 
(x) = \sin(x) \) no intervalo de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \). 
 Resposta: A integral definida de \( g(x) \) de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \) é \( 1 \). 
 Explicação: Integramos \( \sin(x) \) e então avaliamos a integral nos limites \( 0 \) e \( 
\frac{\pi}{2} \).