MATEMATICA AVANÇADA (175)

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Resposta: \( \frac{1}{2} \) 
 Explicação: Este é o limite fundamental que é igual a \( \frac{1}{2} \). 
 
240. Problema: Se \( f(x) = \frac{e^x}{x} \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 Resposta: \( \frac{e^x - e^x}{x^2} \) 
 Explicação: A derivada de \( f(x) \) é \( \frac{e^x - e^x}{x^2} \). 
 
241. Problema: Se \( g(x) = \sqrt{4x + 3} \), qual é a derivada de \( g(x) \)? 
 Resposta: \( \frac{2}{\sqrt{4x + 3}} \) 
 Explicação: Utilizando a regra da cadeia e a derivada da função raiz quadrada, temos 
que a derivada de \( g(x) \) é \( \frac{2}{\sqrt{4x + 3}} \). 
 
242. Problema: Se \( f(x) = e^{\cos(x)} \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 Resposta: \( -\sin(x)e^{\cos(x)} \) 
 Explicação: Utilizando a regra da cadeia e a derivada da função exponencial, temos que 
a derivada de \( f(x) \) é \( -\sin(x)e^{\cos(x)} \). 
 
243. Problema: Se \( \int e^x \cos(x) dx = \frac{1}{2}e^x(\sin(x) + \cos(x)) + C \), onde \( C \) é 
a constante de integração, qual é o valor de \( C \)? 
 Resposta: Qualquer número real 
 Explicação: A constante de integração \( C \) pode ser qualquer número real, pois ao 
derivar \( \frac{1}{2}e^x(\sin(x) + \cos(x)) + C \), 
 
 a constante desaparece. 
 
244. Problema: Se \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = L \), qual é o valor de \( L \)? 
 Resposta: 3 
 Explicação: Este é o limite fundamental que é igual a 3. 
 
245. Problema: Se \( f(x) = \sqrt{x} \cdot e^x \), qual é a derivada de \( f(x) \)? 
 Resposta: \( \frac{e^x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot e^x \) 
 Explicação: Utilizando a regra do produto, a derivada de \( f(x) \) é \( \frac{e^x}{2\sqrt{x}} + 
\sqrt{x} \cdot e^x \).