Matematica todos os anos e idades-805

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25. Problema: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x} \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x} = 0 \). 
 Explicação: Aplicamos a definição de derivada do cosseno em \( x = 0 \). 
 
26. Problema: Resolva \( \int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \, dx = \frac{\pi}{2} \). 
 Explicação: Utilizamos a identidade trigonométrica \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \) 
e então integramos. 
 
27. Problema: Determine \( \frac{d}{dx} (\sin^2(x)) \). 
 Resposta: \( \frac{d}{dx} (\sin^2(x)) = 2\sin(x)\cos(x) \). 
 Explicação: Usamos a regra da cadeia e a derivada de \( \sin(x) \). 
 
28. Problema: Calcule \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \). 
 Explicação: Este limite é um resultado fundamental da definição do número \( e \). 
 
29. Problema: Resolva \( \int_{0}^{1} e^x \, dx \). 
 Resposta: \( \int_{0}^{1} e^x \, dx = e - 1 \). 
 Explicação: Integramos \( e^x \) e avaliamos nos limites de integração. 
 
30. Problema: Determine \( \frac{d}{dx} (\ln(2x)) \). 
 Resposta: \( \frac{d}{dx} (\ln(2x)) = \frac{1}{x} \). 
 Explicação: Aplicamos a regra da cadeia e a derivada de \( \ln(x) \). 
 
31. Problema: Calcule \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x - 2}{2x^2 - x + 1} \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x - 2}{2x^2 - x + 1} = \frac{1}{2} \). 
 Explicação: Dividimos todos os termos pelo termo de maior grau, \( x^2 \), e depois 
tomamos o limite. 
 
32. Problema: Resolva \( \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \, dx \).