Matematica pra sempre-1002

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44. Problema: Determine os valores de \( x \) para os quais a função \( f(x) = \frac{1}{x} \) é 
decrescente. 
 Resposta: A função é decrescente para \( x < 0 \) e \( x > 0 \). Explicação: Observamos o 
sinal da derivada da função. 
 
45. Problema: Calcule o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2}{x^2 - 5} \). 
 Resposta: O limite é 3. Explicação: Dividimos todos os termos por \( x^2 \) e aplicamos a 
regra do limite para polinômios. 
 
46. Problema: Determine a equação da hipérbole com centro em \( (-1, 2) \), eixos 
paralelos aos eixos coordenados, e semi-eixos de comprimentos 4 e 3. 
 Resposta: A equação é \( \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{(y-2)^2}{9} = 1 \). Explicação: Usamos 
a definição de uma hipérbole e os comprimentos dos semi-eixos para encontrar a 
equação. 
 
47. Problema: Resolva a inequação \( x^2 + 3x - 4 > 0 \). 
 Resposta: \( x < -4 \) ou \( x > 1 \). Explicação: Fatoramos a expressão e determinamos os 
intervalos onde a expressão é positiva. 
 
48. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \frac{1}{x} \) e o eixo 
x no intervalo \( [1, e] \). 
 Resposta: A área é \( 1 + \ln(e) \) unidades quadradas. Explicação: Integramos a função 
no intervalo dado. 
 
49. Problema: Calcule o valor de \( \frac{d}{dx}(\tan(x)) \). 
 Resposta: \( \frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x) \). Explicação: Usamos a regra do quociente 
para derivar a função. 
 
50. Problema: Determine a equação da reta que passa pelos pontos \( (-1, 3) \) e \( (2, 5) \). 
 Resposta: A equação é \( y = x + 4 \). Explicação: Usamos a fórmula da inclinação e um 
dos pontos para encontrar a equação. 
 
51. Problema: Resolva a equação exponencial \( 2^{x+1} = 8 \). 
 Resposta: \( x = 1 \). Explicação: Escrevemos ambos os lados da equação na mesma 
base e resolvemos para \( x \).