Derivadas de Funções Exponenciais

Prévia do material em texto

Explicação: Aplicamos a regra da cadeia para derivar a função exponencial. 
 
45. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = \frac{1}{\ln(e^x)} \). 
 Resposta: \( h'(x) = -\frac{e^x}{x} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra do quociente para derivar a função. 
 
46. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = e^{\ln(\cos(x))} \). 
 Resposta: \( f'(x) = -\sin(x) \). 
 Explicação: A função interna e a função externa são canceladas, restando apenas a 
derivada da função interna. 
 
47. Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = \ln(e^x - e^{-x}) \). 
 Resposta: \( g'(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função logarítmica. 
 
48. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = e^{\tan(x)} \). 
 Resposta: \( h'(x) = e^{\tan(x)}\sec^2(x) \). 
 Explicação: Utilizamos a regra da cadeia para derivar a função exponencial. 
 
49. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(x^3) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{3}{x} \). 
 Explicação: Utilizamos a propriedade dos logaritmos para simplificar a função antes de 
derivar. 
 
50. Problema: Encontre a derivada de \( g(x) = \sqrt{e^{2x}} \). 
 Resposta: \( g'(x) = e^x \). 
 Explicação: Aplicamos a regra da cadeia para derivar a função raiz. 
 
51. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = e^{x^3} \). 
 Resposta: \( h'(x) = 3x^2e^{x^3} \). 
 Explicação: Aplicamos a regra da cadeia para derivar a função exponencial.