Exercicios de matematica -(136)

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Resposta: \( h'(x) = \frac{3}{3x + 2} \). 
 Explicação: A derivada de \( \ln(3x + 2) \) é \( \frac{3}{3x + 2} \) usando a regra da cadeia. 
 
32. Problema: Calcule a integral definida de \( f(x) = \tan(x) \) de 0 a \( \frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx = [\ln|\sec(x)|]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 
\ln|\sec(\frac{\pi}{4})| - \ln|\sec(0)| = \ln(\sqrt{2}) - \ln(1) = \ln(\sqrt{2}) \). 
 Explicação: Aplicamos o teorema fundamental do cálculo e calculamos a diferença das 
funções nos limites superior e inferior da integral. 
 
33. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \sin(\frac{x}{2}) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{1}{2}\cos(\frac{x}{2}) \). 
 Explicação: A derivada de \( \sin(\frac{x}{2}) \) é \( \frac{1}{2}\cos(\frac{x}{2}) \), aplicando a 
regra da cadeia. 
 
34. Problema: Calcule a integral indefinida de \( g(x) = \frac{1}{\sqrt{3x + 1}} \). 
 Resposta: \( \int \frac{1}{\sqrt{3x + 1}} \, dx = 2\sqrt{3x + 1} + C \). 
 Explicação: A integral de \( \frac{1}{\sqrt{3x + 1}} \) é \( 2\sqrt{3x + 1} \) mais a constante 
de integração \( C \). 
 
35. Problema: Determine a derivada de \( h(x) = e^{-3x} \). 
 Resposta: \( h'(x) = -3e^{-3x} \). 
 Explicação: A derivada de \( e^{-3x} \) é \( -3e^{-3x} \), aplicando a regra da cadeia. 
 
36. Problema: Calcule a integral definida de \( f(x) = \cos(3x) \) de 0 a \( \frac{\pi}{6} \). 
 Resposta: \( \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(3x) \, dx = 
\left[\frac{1}{3}\sin(3x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{2}) - 
\frac{1}{3}\sin(0) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3} \). 
 Explicação: Aplicamos o teorema fundamental do cálculo e calculamos a diferença das 
funções nos limites superior e inferior da integral. 
 
37. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \tan^2(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = 2\tan(x)\sec^2(x) \). 
 Explicação: A derivada de \( \tan^2(x) \) pode ser encontrada usando a regra da cadeia e 
a identidade trigonométrica \( \tan^2(x) = \sec^2(x) - 1 \). 
 
38. Problema: Calcule a integral indefinida de \( g(x) = \sin(2x) \). 
 Resposta: \( \int \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C \). 
 Explicação: A integral de \( \sin(2x) \) é \( -\frac{1}{2}\cos(2x) \) mais a constante de 
integração \( C \).