Problemas de Cálculo Matemático

Prévia do material em texto

2. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( g(x) = 2x^3 - 9x^2 + 
12x \). 
 Resolução: Para encontrar os pontos críticos, derivamos \( g(x) \) e igualamos a zero. Em 
seguida, verificamos a concavidade para determinar se são máximos ou mínimos. 
 Explicação: Utilizamos o teste da primeira derivada e o teste da segunda derivada para 
classificar os pontos críticos como máximos ou mínimos. 
 
3. Problema: Encontre a integral indefinida de \( h(x) = e^x + \sin(x) \). 
 Resolução: A integral de \( e^x \) é \( e^x \) e a integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \). 
 Explicação: Aplicamos as regras de integração básicas para cada termo da função. 
 
4. Problema: Calcule o limite \( \lim_{{x \to 2}} \frac{{x^2 - 4}}{{x - 2}} \). 
 Resolução: Fatorando o numerador, obtemos \( (x - 2)(x + 2) \). Simplificando, o limite se 
torna \( \lim_{{x \to 2}} (x + 2) \), que é igual a \( 4 \). 
 Explicação: Utilizamos a técnica de fatoração e propriedades dos limites para avaliar o 
limite. 
 
5. Problema: Determine a derivada da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 Resolução: A regra da cadeia nos diz que a derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{{u'}}{u} \), onde 
\( u = x^2 + 1 \). 
 Explicação: Aplicamos a regra da cadeia para derivar a função composta. 
 
6. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - 3 \) no 
intervalo \( 0 \leq x \leq 2 \). 
 Resolução: A área é dada pela integral da diferença entre as duas funções no intervalo 
dado. 
 Explicação: Usamos o método de integração para encontrar a área entre as curvas. 
 
7. Problema: Determine os pontos de interseção das curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = 2 - x \). 
 Resolução: Igualamos as duas equações e resolvemos para \( x \) e \( y \). 
 Explicação: Encontramos os pontos onde as duas curvas se encontram. 
 
8. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{1} (3x^2 + 2x + 1) \, dx \). 
 Resolução: Integramos a função e aplicamos os limites de integração.