Matematica analitica (69)

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58. Problema: Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas 
curvas \( y = x^2 \) e \( y = \cos(x) \) em torno do eixo \( x \). 
 Resposta: O volume é \( \frac{2\pi}{3} + \frac{1}{2} \pi \). 
 
59. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \frac{1}{\ln(x)} \). 
 Resposta: A derivada é \( -\frac{1}{x \ln^2(x)} \). 
 
60. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \ln(x) \) e \( y = e^x \) 
no intervalo \( [1, e] \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \). 
 
61. Problema: Calcule a integral \( \int \frac{\tan(x)}{\cos^2(x)} \,dx \). 
 Resposta: A integral é \( \sec(x) + C \). 
 
62. Problema: Encontre os valores de \( a \) e \( b \) para que a função \( f(x) = ax^2 + bx + 
\cos(x) \) tenha um ponto de inflexão em \( x = 0 \). 
 Resposta: \( a = 0 \) e \( b = 1 \). 
 
63. Problema: Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas 
curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = \cos(x) \) em torno do eixo \( y \). 
 Resposta: O volume é \( 2\pi \). 
 
64. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \ln(\tan(x)) \). 
 Resposta: A derivada é \( \frac{1}{\sin(x) \cos(x)} \). 
 
65. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = \sin(x) \) 
no intervalo \( [0, \pi] \). 
 Resposta: A área é \( \pi + 1 \). 
 
66. Problema: Calcule a integral \( \int \frac{x^3}{\cos^2(x)} \,dx \). 
 Resposta: A integral é \( x \sec^2(x) - 3\tan(x) + C \).