Matematica ensino medio-1134

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90. Problema: Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 2x - x^2 
\). 
 Resolução: Calcule os pontos de interseção das curvas e então integre a diferença 
entre elas ao longo do intervalo relevante. 
 
91. Problema: Determine a derivada direcional da função \( f(x, y) = 2xy - x^2 \) no ponto \( 
(1, 1) \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = \langle 1, 2 \rangle \). 
 Resolução: Utilize 
 
 a definição de derivada direcional para calcular a taxa de variação de \( f \) na direção de 
\( \mathbf{v} \). 
 
92. Problema: Calcule a integral de superfície \( \iint_S (x^2 + y^2) \, dS \), onde \( S \) é a 
superfície do sólido delimitado pelo cilindro \( x^2 + y^2 = 1 \) e os planos \( z = 0 \) e \( z = 
2 \). 
 Resolução: Utilize coordenadas cilíndricas para parametrizar a superfície \( S \) e então 
calcule a integral de superfície. 
 
93. Problema: Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais: 
 \[ 
 \begin{cases} 
 \frac{dx}{dt} = -x + 2y \\ 
 \frac{dy}{dt} = x - 2y 
 \end{cases} 
 \] 
 Resolução: Resolva as equações diferenciais separadamente e depois encontre a 
solução do sistema. 
 
94. Problema: Determine os intervalos de monotonicidade da função \( f(x) = \frac{1}{x^3} 
\). 
 Resolução: Calcule a primeira derivada de \( f \) e identifique os intervalos onde ela é 
positiva (função crescente) e negativa (função decrescente). 
 
95. Problema: Encontre a solução particular da equação diferencial \( y'' - 4y = 2e^{2x} \) 
com condições iniciais \( y(0) = 0 \) e \( y'(0) = 1 \).