Matematica ensino medio-1140

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33. Problema: Encontre o comprimento da curva \( y = \ln(\cos(x)) \) de \( x = 0 \) a \( x = 
\frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: O comprimento é dado pela integral \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1 + 
\left(\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2} \, dx \). 
 
34. Problema: Determine os valores de \( a \) para os quais a equação \( 2x^2 - ax + 3 = 0 \) 
tem duas raízes reais e distintas. 
 Resposta: As raízes são reais e distintas quando o discriminante \( \Delta = a^2 - 4(2)(3) 
> 0 \). 
 
35. Problema: Resolva a inequação \( \log_3(x^2 - 6x + 8) > 1 \). 
 Resposta: Aplicando as propriedades dos logaritmos, encontramos a solução \( (2, 4) 
\cup (4, \infty) \). 
 
36. Problema: Calcule a integral imprópria \( \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \). 
 Resposta: Esta é a integral da função Gaussiana e não tem uma solução em termos de 
funções elementares, mas é igual a \( \frac{\sqrt{\pi}}{2} \). 
 
37. Problema: Determine a área da região no primeiro quadrante limitada pelas curvas \( y 
= e^x \) e \( y = \frac{1}{x} \). 
 Resposta: A área é \( \int_{1}^{\infty} (e^x - \frac{1}{x}) \, dx \), resultando em \( e - \ln(2) 
\). 
 
38. Problema: Encontre os valores de \( x \) onde a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) é 
crescente. 
 
 
 Resposta: A função é crescente onde sua derivada é positiva. Após calcular, os 
intervalos são \( (-\infty, 1) \) e \( (2, \infty) \). 
 
39. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y' + 4y = e^{-2x} \). 
 Resposta: A solução particular é \( y_p(x) = xe^{-2x} \), então a solução geral é a soma da 
solução homogênea mais a particular.