Problemas de Cálculo Matemático

Prévia do material em texto

Explicação: Integre ambos os lados em relação a \(x\) para encontrar \(y\). 
 
26. Problema: Calcule o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}\). 
 Resposta: \(3\). 
 Explicação: Use a definição do limite trigonométrico: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\) 
e aplique a propriedade da multiplicação de limites. 
 
27. Problema: Encontre a equação da reta tangente à curva \(y = \ln(x)\) no ponto onde \(x 
= 1\). 
 Resposta: \(y = x - 1\). 
 Explicação: Use a derivada para encontrar a inclinação da reta tangente e a equação da 
reta tangente. 
 
28. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \(y = \sqrt{x}\) e \(y = x^2\). 
 Resposta: \(\frac{1}{6}\). 
 Explicação: Encontre os pontos de interseção das curvas e integre a diferença das 
funções ao longo do intervalo. 
 
29. Problema: Resolva a equação \(2\cos(2x) - \sqrt{3} = 0\). 
 Resposta: \(x = \frac{\pi}{12}\) ou \(x = \frac{5\pi}{12}\). 
 Explicação: Resolva para \(\cos(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) e encontre os ângulos 
correspondentes. 
 
30. Problema: Calcule a integral indefinida \(\int x^3 \sin(x) \, dx\). 
 Resposta: \(x^3\sin(x) - 3x^2\cos(x) + 6x\sin(x) - 6\cos(x) + C\), onde \(C\) é uma 
constante. 
 Explicação: Utilize integração por partes. 
 
31. Problema: Determine a equação da circunferência com centro em \((-1,2)\) e raio \(3\). 
 Resposta: \((x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9\). 
 Explicação: A equação geral de uma circunferência é \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), onde 
\((h,k)\) é o centro e \(r\) é o raio. 
 
32. Problema: Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} + 2y = e^{-x}\).