Problemas de Matemática

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30. Problema: Determine os valores de \( k \) para os quais o sistema de equações 
lineares abaixo tem solução: 
 \[ \begin{cases} 
 x + y + z = 1 \\ 
 x + 2y - z = 2 \\ 
 2x + 3y + kz = 3 
 \end{cases} \] 
 Resposta: O sistema tem solução se \( k \neq -1 \). 
 Explicação: O sistema tem solução se o determinante da matriz dos coeficientes for 
diferente de zero. 
 
31. 
 
 Problema: Calcule a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = \ln(x) \) 
entre \( x = 1 \) e \( x = e \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades de área. 
 Explicação: Para encontrar a área entre duas curvas, calculamos a integral da função 
que representa a diferença entre elas. 
 
32. Problema: Encontre os valores de \( k \) para os quais o vetor \( \mathbf{v} = \langle 2, 
k, -1 \rangle \) é perpendicular ao vetor \( \mathbf{u} = \langle 1, -1, 2 \rangle \). 
 Resposta: O vetor é perpendicular quando \( k = 3 \). 
 Explicação: Dois vetores são perpendiculares quando seu produto interno é zero. 
 
33. Problema: Determine os pontos críticos da função \( f(x,y) = 3x^2 + 2xy + 4y^2 - 12x - 8y 
+ 10 \). 
 Resposta: O ponto crítico é \( (2,-1) \). 
 Explicação: Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero para encontrar os 
pontos críticos. 
 
34. Problema: Calcule a integral definida \( \int_{0}^{\pi} \sin^3(x) \, dx \). 
 Resposta: \( 2 \). 
 Explicação: Utilizando identidades trigonométricas, podemos reduzir a integral a uma 
forma mais simples.