Aula exericico de matematica-110

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Resposta: \( \ln(\sqrt{2}) \). 
 
75. Problema: Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = 
e^{2x} \) de \( x = 0 \) a \( x = 1 \). 
 Resposta: \( e^2 - e \) unidades quadradas. 
 
76. Problema: Resolva a equação \( \sqrt{x} - \sqrt{x - 3} = 2 \). 
 Resposta: \( x = 4 \). 
 
77. Problema: Encontre a solução particular da equação diferencial \( y'' - y = \cos(x) \) 
com condições iniciais \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 0 \). 
 Resposta: \( y(x) = \cos(x) + \sin(x) \). 
 
78. Problema: Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por 
\( y = \sqrt{x} \) e \( y = x^3 \) em torno do eixo \( x \). 
 Resposta: \( \frac{13\pi}{14} \) unidades cúbicas. 
 
79. Problema: Calcule a soma dos termos da série geométrica \( 5 + 10 + 20 + ... \) até o 5º 
termo. 
 Resposta: 625. 
 
80. Problema: Resolva a inequação \( x^3 + x^2 - 4x \geq 0 \). 
 Resposta: \( x \leq -2 \) ou \( x \geq 0 \). 
 
81. Problema: Determine a derivada parcial de segunda ordem de \( f(x, y) = e^{xy} \) em 
relação a \( y \). 
 Resposta: \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = x^2e^{xy} \). 
 
82. Problema: Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais: \( 
\frac{dx}{dt} = 2x + 3y \) e \( \frac{dy}{dt} = x - 2y \). 
 Resposta: \( x(t) = C_1e^{3t} + C_2e^{-t} \) e \( y(t) = -\frac{1}{2}C_1e^{3t} + 
\frac{3}{2}C_2e^{-t} \).