Problemas de Cálculo e Equações Diferenciais

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78. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \ln(x) \) e o eixo \( x \) 
entre \( x = 1 \) e \( x = e \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades de área. 
 Explicação: Calculamos a área da região entre a curva e o eixo \( x \) integrando a função 
\( \ln(x) \) entre \( 1 \) e \( e \). 
 
79. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' - y = \tan(x) \). 
 Resposta: \( y = e^{-x} \left( C + \int \tan(x) e^x \, dx \right) \), onde \( C \) é uma 
constante. 
 Explicação: Utilizamos o método do fator integrante para resolver a equação diferencial 
linear. 
 
80. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y = e^x - \cos(x) \). 
 Resposta: \( y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x} + e^x - \frac{1}{2}\cos(x) \), onde \( C_1 \) e \( C_2 
\) são constantes. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial homogênea associada e, em seguida, 
encontramos uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar. 
 
81. Problema: Calcule a integral \( \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( 2 \). 
 Explicação: Avaliamos a integral definida da função \( \sin(x) \) entre \( -\pi/2 \) e \( \pi/2 
\). 
 
82. Problema: Determine o intervalo de convergência da série de potências \( 
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+2}x^n \). 
 Resposta: O intervalo de convergência é \( -1 \leq x < 1 \). 
 Explicação: Utilizamos o teste da razão para determinar o intervalo de convergência. 
 
83. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + 2xy = e^{x^2} + x^2 \). 
 Resposta: \( y = e^{-x^2} \left( C + \int (e^{x^2} + x^2) e^{x^2} \, dx \right) \), onde \( C \) é 
uma constante. 
 Explicação: Utilizamos o método do fator integrante para resolver a equação diferencial 
linear.