Exericico fixação-153

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66. Problema: Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = \ln(x) \) e \( y = e^x 
\) no intervalo \( [0, 1] \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \) unidades quadradas. 
 Explicação: Use a integração definida para encontrar a área entre as curvas no intervalo 
dado. 
 
67. Problema: Encontre a soma dos termos da série geométrica infinita \( 
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} \). 
 Resposta: A soma é \( \frac{1}{2} \). 
 Explicação: Use a fórmula da soma de uma série geométrica \( \frac{a}{1 - r} \), onde \( a 
\) é o primeiro termo e \( r \) é a razão. 
 
68. Problema: Determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da curva \( 
y = \ln(x) \). 
 Resposta: A concavidade é para cima em \( (0, +\infty) \). Não existem pontos de 
inflexão. 
 Explicação: Encontre a segunda derivada e determine os intervalos onde é positiva ou 
negativa para determinar a concavidade. Os pontos de inflexão ocorrem onde a 
concavidade muda. 
 
69. Problema: Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = x^2 \) e o eixo \( x \) no 
intervalo \( [0, 2] \). 
 Resposta: A área é \( \frac{8}{3} \) unidades quadradas. 
 Explicação: Use a integração definida para encontrar a área entre a curva e o eixo \( x \) 
no intervalo dado. 
 
70. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = e^x \) no ponto onde \( 
x = 0 \). 
 Resposta: A equação da tangente é \( y = x + 1 \). 
 Explicação: Use a derivada para encontrar a inclinação da tangente e a equação ponto-
inclinação. 
 
71. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \sin(x) \) com a condição 
inicial \( y(0) = 0 \). 
 Resposta: A solução é \( y = 1 - \cos(x) \).