Problemas de Cálculo Matemático

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34. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \). 
 Resolução: Este é o limite fundamental que define o número de Euler, \( e \). Portanto, a 
resposta é \( e \). 
 
 
 
35. Problema: Determine a solução da equação \( x^2 + 4x + 4 = 0 \). 
 Resolução: Esta é uma equação quadrática que pode ser fatorada como \( (x + 2)^2 = 0 
\). Portanto, a única solução é \( x = -2 \). 
 
36. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x^2} \). 
 Resolução: Usando a regra do quociente, a derivada de \( \frac{\cos(x)}{x^2} \) é \( -
\frac{2\cos(x)}{x^3} - \frac{\sin(x)}{x^2} \). 
 
37. Problema: Resolva a equação trigonométrica \( \cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). 
 Resolução: As soluções para esta equação são \( \frac{\pi}{4} + 2\pi n \) e \( \frac{7\pi}{4} 
+ 2\pi n \), onde \( n \) é um número inteiro. 
 
38. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int e^x \sin(x) \, dx \). 
 Resolução: Podemos usar integração por partes para resolver essa integral. A resposta é 
\( \frac{1}{2} e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C \), onde \( C \) é uma constante de integração. 
 
39. Problema: Encontre o ponto crítico da função \( f(x) = x^3 - 3x \). 
 Resolução: A derivada de \( f(x) \) é \( 3x^2 - 3 \), que é zero em \( x = -1 \) e \( x = 1 \). 
 
40. Problema: Determine a solução da equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \). 
 Resolução: Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com 
coeficientes constantes. A solução geral é \( y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \), onde \( 
C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. 
 
41. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{2\pi} \cos(x) \, dx \). 
 Resolução: A integral de \( \cos(x) \) é \( \sin(x) \). Substituindo os limites de integração, 
obtemos \( \sin(2\pi) - \sin(0) = 0 \).