Avaliação Final (Objetiva) - Cálculo Diferencial e Integral II

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GABARITO | Avaliação Final (Objetiva) - Individual
(Cod.:956704)
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Prova 83145785
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 9/1
Nota 9,00
Segundo o conceito físico estabelecido pela Lei de Hooke, a força necessária para distender uma mola 
por uma certa quantidade de unidades x é diretamente proporcional à extensão da distensão x. 
Matematicamente, isso é expresso pela equação F = k⋅x, onde k é a constante de proporcionalidade 
conhecida como constante elástica da mola. O trabalho realizado por uma força variável é dado pela 
integral da função força, no intervalo fixado pela origem e término do deslocamento realizado
Desta forma, supondo que 1,95 J de trabalho foram necessários para estender uma mola de 10 cm 
para 16 cm de comprimento, assinale entre as opções, aquela que forneça o valor da constante elástica 
desta mola.
Obs.: todos os dados devem ser utilizados dentro do Sistema Internacional de Unidades (SI). Utilize o 
intervalo de integração conforme os dados apresentados.
A 280 N/m.
B 220 N/m.
C 260 N/m.
D 250 N/m.
E 200 N/m.
Para resolver essa questão, considere que o valor médio de uma função, denominado Vmf, em um 
dado intervalo [a, b], a qual seja diferenciável neste intervalo, é dado por:
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Seja uma empresa que produz e vende kits de jardinagem urbana. Seus clientes recebem um kit 
completo com vasos, terra, sementes e ferramentas para cultivar ervas, vegetais e flores em pequenos 
espaços, como varandas e jardins verticais. O valor do custo de produção para uma certa quantidade 
de kits (x), é definido pela função C(x) = 0,08x³ - 0,9x² + 1,4x + 5. Assim, o valor médio do custo de 
produção, em de reais para um intervalo de 20 a 30 kits é:
A R$ 630,00.
B R$ 770,00.
C R$ 540,00.
D R$ 530,00.
E R$ 810,00.
As derivadas parciais são uma ferramenta fundamental na análise matemática, especialmente na área 
do cálculo multivariável. Quando uma função depende de mais de uma variável, as derivadas parciais 
ajudam a entender como essa função muda em relação a cada uma das variáveis independentes, 
mantendo as outras constantes.
Dessa forma, o estudo da derivação parcial permite que estendamos os conceitos estudados no 
Cálculo Diferencial e Integral para duas dimensões, para o espaço tridimensional. Assim, podemos 
generalizar vários casos existentes e que antes não eram acessados.
Dada a função:
f(x,y) = ln (x.y)
I. f(x,y) é diferenciável em todos os pontos do plano.
II. A soma de suas derivadas parciais é 1/x + 1/y.
III. A soma de suas derivadas parciais é x + y.
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IV. A soma de suas derivadas parciais é x/y.
V. O limite da função quando (x,y) tende a (0,0) é zero. 
É correto o que se afirma em:
A IV, apenas.
B I, apenas.
C V, apenas.
D III, apenas.
E II, apenas.
As operações inversas: adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação, 
exponenciação e logaritmação, já são bastante conhecidas. A integração indefinida é basicamente a 
operação inversa da diferenciação. Assim, dada a derivada de uma função, o processo que consiste em 
achar a função que a originou, ou seja, achar a sua primitiva denomina-se de antiderivação.
Baseado nisso, analise as opções que apresentam f(x), sendo que f'(x) = 3x² - 6x + 2 para todo x e 
com f(1) = 2:
I. f(x) = 6x² - 6
II. f(x) = x³ - 3x² + 2x + 2
III. f(x) = x³ - 6x² + 2x
IV. f(x) = 3x² - 2x - 3
É correto apenas o que se afirma em
A II, apenas.
B II e III, apenas.
C I, apenas.
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D I e II, apenas.
E II e IV, apenas.
Uma função matemática é uma relação entre um conjunto de entradas (domínio) e um conjunto de 
saídas (contradomínio), na qual cada elemento do domínio está associado a exatamente um elemento 
do contradomínio. Em termos mais simples, uma função atribui a cada elemento de entrada um único 
valor de saída.
Antes de trabalhar com funções dadas, é muito importante verificarmos os pontos onde a função 
admite definição. Estes pontos são chamados pontos do domínio da função. Ao trabalhar com funções 
de várias variáveis, muitas vezes, o domínio da função é dado por uma relação entre estas variáveis. 
sobre qual é o seu conjunto domínio condizente:
I. Considere a função: f(x)=1/(x2−4x+3)
DESSE MODO
II. O domínio da função f(x) é o conjunto {x ∈ R : x ≠1,x ≠3} porque os valores de x que tornam o 
denominador igual a zero são excluídos do domínio, garantindo a definição da função.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
B As asserções I e II são falsas.
C A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
D A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
E As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
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Funções contínuas são aquelas em que não há "quebras" abruptas nos gráficos, ou seja, não há pontos 
em que o gráfico seja interrompido. Em termos mais formais, uma função é contínua se você puder 
desenhar o gráfico dela sem levantar a caneta do papel. Isso significa que o valor da função muda de 
forma suave e gradual conforme você percorre o eixo x. As funções contínuas são importantes porque 
muitas vezes representam fenômenos físicos ou situações da vida real de maneira mais precisa. Além 
disso, em matemática, funções contínuas possuem propriedades que facilitam sua análise e 
manipulação.
A respeito das propriedades necessárias para que uma função de várias variáveis seja contínua, analise 
as afirmativas a seguir:
I. Toda função composta por termos polinomiais em várias variáveis é contínua em todo o seu 
domínio.
PORQUE
II. Funções polinomiais em várias variáveis são expressões matemáticas compostas por uma 
combinação de termos em que cada termo é uma constante multiplicada pelo produto de potências de 
várias variáveis, como ax1
n1x2
n2 onde a é uma constante e n1, n2 etc., são números inteiros não 
negativos.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
B A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
C As asserções I e II são falsas.
D As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
E A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
Em situações em que uma função possui partes de sua representação gráfica acima e abaixo do eixo 
das abscissas, surge um conceito crucial denominado "saldo de área". Este conceito implica que ao 
calcular a integral de tal função em um intervalo de integração, o resultado não apenas representa a 
área total sob o gráfico, mas também considera a diferença entre as áreas acima e abaixo do eixo das 
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abscissas. Desta forma, analise a representação gráfica de uma função f e sendo a, b, c e d, as áreas 
positivas desta função nos respectivos intervalos (-3, -1), (-1, 2), (2, 4) e (4, 6):
Considerando as informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre 
elas.
I. A integral definida de -3 até 6 desta função, apresentará como resultado, a soma de a + b + c + d.
PORQUE
II. Ao calcular a área da curva no intervalo de -3 até 6, devemos separar o cálculo em quatro partes, 
respeitando as partes acima e abaixo do eixo das abscissas.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
A As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
B As asserções I e II são falsas.
C A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.
D As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
E A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.
Antes de trabalhar com funções dadas, é muito importante verificarmos os pontos onde a função 
admite definição. Esses pontos são chamados pontos do domínio da função. Ao trabalhar com funções 
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de váriasvariáveis, muitas vezes o domínio da função é dado por uma relação entre estas variáveis.
Baseado nisto, dada a função a seguir, sobre qual é o seu conjunto domínio condizente, analise as 
opções a seguir:
A Df = {(x, y) ∈ R, x < y}
B Df = {(x, y) ∈ R, x < 2y}
C Df = {(x, y) ∈ R, x > y}
D Df = {(x, y) ∈ R, x ≤ 2y}
E Df = {(x, y) ∈ R, x > 2y}
Ao resolver o volume de um sólido de revolução em relação aos eixos e intersecções de curvas, é 
crucial escolher o método de resolução apropriado, levando em consideração as características 
específicas da região plana e do sólido gerado. Por exemplo, ao lidar com uma região limitada por 
curvas que se intersectam em múltiplos pontos, pode ser necessário encontrar tais pontos, para então 
dar continuidade no processo de cálculo.
Sendo assim, determine entre as opões a seguir, o volume do sólido gerado pela rotação em torno do 
eixo y, limitado pelas curvas y = x2, y = x – 2 e pelas retas y = 0 e y = 1:
A V = 2π u.v.
B V = 3π/2 u.v.
C V = 12π/5 u.v.
D V = 35π/6 u.v.
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E V = 4π/3 u.v.
No estudo do cálculo integral, os métodos ou técnicas de integração são procedimentos analíticos 
empregados para encontrar antiderivadas de funções. Entre as técnicas mais reconhecidas estão a 
integração por substituição, por partes e por frações parciais. Especificamente, a técnica de integração 
por substituição envolve a aplicação da mudança de variáveis u = g(x), facilitando a obtenção de uma 
integral imediata para resolver o problema. Por exemplo, considere a integral
Dessa forma, a partir dessa integral, identifique a alternativa correta que propõe a melhor substituição 
a ser utilizada:
A u = x3.
B u = e2x
C u = dx.
D u = e2x^4.
E u = 2x4.
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