Métodos de Otimização

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MODELAGEM MATEMÁTICA - REVISÃO 
 
Questão 1. Dado o modelo abaixo determine a solução ótima através do método 
simplex, identificando no final o valor de Z, o valor de cada variável não básica e o valor 
de cada variável básica (ou variável de folga). Considere os dois quadros abaixo. 
 Max Z = x1 + x2 
 Sujeito a: 
 160x1 + 240x2 ≤ 960 
 3x3 + 3x4 ≤ 18 
 10000x1 + 5000x2 ≤ 40000 
 x1 , x2  0 
 
Q.2 
 Z X1 X2 X3 X4 X5 b 
Coluna base 1 0 -0,5 0 0 0,0001 4 
X3 0 0 160 1 0 -0,016 320 
X4 0 0 1,5 0 1 -0,0003 6 
X1 0 1 0,5 0 0 0,0001 4 
 
Q.3 
 Z X1 X2 X3 X4 X5 b 
Coluna base 1 0 0 1/320 0 1/20000 
X2 0 0 1 1/160 0 -0,0001 
X4 
X1 0 1 0 -1/320 0 3/20000 
 
 
A) Z = 5 ; X1 = 1 ; X2 = 1, X3 = 0, X4 = 3 ; X5 = 0 
B) Z = 15 ; X1 = 3 ; X2 = 2, X3 = 0, X4 = 1 ; X5 = 0 
C) Z = 10 ; X1 = 4 ; X2 = 3, X3 = 0, X4 = 4 ; X5 = 0 
D) Z = 20 ; X1 = 5 ; X2 = 7, X3 = 0, X4 = 3 ; X5 = 0 
E) Z = 5 ; X1 = 3 ; X2 = 2, X3 = 0, X4 = 3 ; X5 = 0 
 
Questão 2. Através do método da bisseção é possível determinar uma raiz aproximada 
para a equação x3 + x – 4 = 0, no intervalo [1,2] com precisão de 10-3. Usando o método 
percebemos que até a iteração 6 ainda não é possível encontrar essa raiz. Marque a 
alternativa que indica o número de iterações que ainda serão necessárias para 
encontrarmos a solução da equação dada. 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 7 
(E) 10 
 
Questão 3. Através do método da bisseção é possível determinar uma raiz aproximada 
para a função f(x) = e-x – x = 0 , com E ≤ 0,001, no intervalo [0,1]. Até a iteração 9 
encontramos a raiz x9 = 0,5684. Como essa raiz ainda não é boa precisamos realizar mais 
iterações. Considere o intervalo o novo intervalo [0,5664 ; 0,5684] para procurar outra 
raiz com 4 casas decimais. Marque a alternativa que indica a solução dessa equação a 
partir da sua análise. 
 
(A) 0,5625 
(B) 0,5674 
(C) 0,5938 
(D) 0,5703 
(E) 0,5781 
 
Questão 4. Considerando f(x) = ex – 3x2 , x0 = 1 e E < 10-5, marque a alternativa que indica 
o valor de x2 através do método de Newton-Raphson. 
 
(A)0,914155 
(B)0,085845 
(C)0,910017 
(D)0,910008 
(E)0,004137 
 
Questão 5. Considerando f(x) = x4 – 2x3 + 4x – 1,6 , x0 = 0, determine a raiz da equação 
através do método de Newton-Raphson, com 6 casas decimais, considerando que até a 
iteração 2 encontramos x2 = 0,431068. A raiz é encontrada na iteração 3. 
 
(A)0,414156 
(B)0,030841 
(C)0,431017 
(D) 0,431505 
(E)0,004137 
Questão 6. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região 
de vendas. Ele já transporta 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa por mês. 
Ele necessita transportar pelo menos 100 caixas de pêssegos a 10 u.m. de lucro por 
caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma 
deverá carregar o caminhão para obter o lucro máximo? Marque a alternativa que indica 
o modelo de programação linear. 
 
A)Max Z = 4.000 + 10x1 + 30x2 
Sujeito a: x1 ≥ 100 
x2 ≤ 200 
x1 + x2 ≤ 600 
x1  0 
 
B)Max Z = 4.000 + 10x1 + 30x2 
Sujeito a: x1 ≥ 200 
x2 ≤ 300 
x1 + x2 ≤ 600 
 
C)Max Z = 4.000 + 10x1 + 30x2 
Sujeito a: x1 ≥ 100 
x2 ≤ 200 
x1 + x2 ≤ 600 
x1  0, x2 0 
 
D)Min Z = 4.000 + 10x1 
Sujeito a: x1 ≥ 100 
x2 ≤ 200 
x1 + x2 ≥ 800 
x1  0, x2 0 
 
E)Min Z = 10x1 + 30x2 
Sujeito a: x1 ≥ 100 
x2 ≤ 200 
x1 + x2 ≤ 600 
x1  0, x2 0 
 
Questão 7. Através do método da bisseção é possível determinar uma raiz aproximada para a 
função f(x) = ex – x2 + 3x - 2 , com E ≤ 0,001. Até a iteração 4 encontramos a raiz x4 = 0,3125. 
Considerando um novo intervalo [0,25 ; 0,3125], determine o valor aproximado, com 4 casas 
decimais, da raiz, na iteração 5. 
 
(A)0,25 
(B)0,3674 
(C)0,2918 
(D)0,2812 
(E)0,2781 
 
Respostas: 
1)letra E 
2) N > LOG(2-1) – LOG(0,001)/LOG2 => N > LOG1 – (-3)/0,30 => N > 0 +3 /0,30 => N = 10 
ITERAÇÕES. 
LOGO, FALTAM 4 ITERAÇÕES - LETRA B 
 
3) X10 = 0,5664+0,5684/2 = 0,5674 
F(0,5674) = - 0,0004 
F(0,5664) = 0,001 
F(0,5674)F(0,5664) < 0 
Teste de parada: |0,5664 – 0,5674| = 0,001 = E 
Logo, a raiz da equação é X10 = 0,5674 - LETRA B 
 
4) f(x) = ex – 3x2 
f`(x) = ex – 6x 
x0 = 1 
f(1) = e1 – 3(1)2 = e - 3 
f`(1) = e1 – 6.1 = e - 6 
 
x1 = 1 – (e – 3)/(e – 6) = 0,914155 
 
f(x2) = f(0,914155) = e0,914155 – 3(0,914155)2 = - 0,01237 
f`(x2) = f´(0,914155) = e0,914155 – 6(0,914155) = - 2,99026 
 
x2 = 0,914155 –(- 0,01237)/( - 2,99026) 
x2 = 0,914155 –(0,01237)/(2,99026) 
x2 = 0,914155 –(0,01237)/(2,99026) 
x2 = 0,910017 (aprox.) - Letra: C 
 
5) f(0,431068) = (0,431068)4 – 2.( 0,431068)3 + 4.( 0,431068) – 1,6 = 
= 0,0345 – 0,16020 + 1,72427 – 1,6 
= 1,7588 – 1,7602 
= - 0,0014 
 
f´(0,431068) = 4.( 0,431068)3 – 6.( 0,431068)2 + 4 
f´(0,431068) = 0,32040 – 1,11492 + 4 
f´(0,431068) = 0,320548 
 
x3 = 0,431068 – (- 0,0014)/ 0,320548 => x3 = 0,431505 
x3 = 0,431068 + 0,0014/ 0,320548 
X3 = 0,431505 – letra D 
 
6) LETRA C 
 
7) método da bisseção 
Novo intervalo: [0,25 ; 0,3125] 
 
X5 = (0,25 + 0,3125)/2 => x5 = 0,2812 
Letra: D